Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFPE, Calculo 2, 2º EE - 2018.1, Questão 4

Considere o sólido limitado pela superfície z = 1 + e x sin y e pelos planos x = 1 , x = - 1 , y = 0 , y = π e z = 0 . Determine o volume do sólido descrito.

Passo 1

Bem, se um problema nos pede volume, o que ele quer verificar se sabemos fazer é calcular essa integral dupla aqui:

V o l u m e = R   f x , y - g x , y   d A

Logo, a nossa tarefa principal é determinar quem é R , f x ,   y e g x ,   y . Depois é só correr para o abraço e resolver a integral ! Vem comigo então!

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Passo 2

Vamos começar determinando a região de integração R :

Pelo próprio enunciado, a região de integração é a região no plano x y . Nesse caso, o problema nos delimitou a região assim:

  x = 1 ,   x = - 1 ,   y = 0 ,   y = π  

Colocando cada uma dessas retas no plano a gente logo vê a nossa querida região R :

Veja que podemos descrever essa região retangular considerando x variando de - 1 até 1 :

- 1 x 1

Enquanto o y ...

0 y π

Passo 3

Quanto à função f x ,   y e a função g x ,   y :

A função f x ,   y essa é sempre a função que a gente considera a função que tem um gráfico mais acima. Enquanto isso, a g x ,   y é sempre a função mais abaixo.

O nosso problema nos definiu duas funções:

z = 1 + e x sin y

E

z = 0

Como e x é sempre positivo, assim como sin y é positivo, também, considerando o intervalo dado (de 0 a π ), a gente conclui que z = 1 + e x sin y é sempre maior que 0 dentro da região R considerada. Logo, a função que está por cima é:

f x ,   y = z = 1 + e x sin y

Enquanto que quem está por baixo...

g x ,   y = z = 0

Passo 4

Voltando para a integral e juntando tudo...

V o l u m e = R   f x , y - g x , y   d A =

- 1 1 0 π 1 + e x sin y   d y d x

Agora é só calcular a integral mesmo. Integrando a de dentro em y (e considerando x como constante)...

- 1 1 0 π 1 + e x sin y   d y d x = - 1 1 0 π 1 + e x sin y   d y d x =

- 1 1   y - e x cos y 0 π d x =

Substituindo os limites em y , afinal foi ele quem a gente integrou, ganhamos...

- 1 1 π - e x cos π - 0 - e x cos 0 d x = - 1 1 π - e x - 1 + e x d x =

- 1 1 π + 2 e x d x

Integrando em x ...

  π x + 2 e x - 1 1 = π + 2 e 1 - - π + 2 e - 1 =

2 π + 2 e - 2 e

Resposta

2 π + 2 e - 2 e

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