Determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelos planos z = 0 e y + z = 3 .

Passo 1

Beleza, vamos começar tentando fazer um esboço da região.

A primeira equação é a mais simples, ela descreve um cilindro de raio 2 em torno do eixo z :

x 2 + y 2 = 2 2 = 4

A equação z = 0 é esse plano cinzento que já está aí no desenho. A gente só está interessado na região que está acima dele.

Mas e essa equação aqui?

y + z = 3         ⇒           z = - y + 3

Bom, quando estamos no espaço ela é um plano, mas a equação parece a dessa reta aqui:

Para desenhar isso no espaço, é só prolongar essa reta ao longo do eixo x , então:

Beleza, já temos a região desenhada, agora vamos tentar escrever isso matematicamente.

Passo 2

A nossa estratégia vai ser a seguinte: a gente vai usar a integral dupla pra percorrer aquele círculo de raio 2 que está no plano x y .

V = ∬ R f x , y   d x d y

E pra cada ponto nesse círculo R , nós vamos calcular a altura até aquele plano azul. Quando a gente somar essa altura sobre cada ponto no círculo R , vamos ter o volume da região!

Como a gente pode expressar aquela altura? Bom, nesse caso, “altura” é simplesmente a coordenada z , então vamos usar a própria equação do plano:

z = - y + 3

Então:

V = ∬ R   - y + 3   d x d y

Ok, agora é só integrar essa função sobre o círculo R .

Passo 3

Pra fazer isso, vamos usar coordenadas polares. Temos que usar essa transformação aqui:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ

E usar o Jacobiano para trocar d x d y :

d x   d y = r   d r   d θ

Então:

V = ∬ R   - y + 3   d x d y = ∬ R '   - r sen ⁡ θ + 3   r   d r   d θ

E agora, como escrever os limites de integração? Bom, pra percorrer um círculo de raio 2 , temos que usar esses limites aqui:

0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π

Então:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - r sen ⁡ θ + 3   r   d r   d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 r - r 2 sen ⁡ θ   d r   d θ

Agora vamos resolver!

Passo 4

Primeiro vamos integrar em relação a r :

I 1 = ∫ 0 2 3 r - r 2 sen ⁡ θ   d r

Aqui só temos a integral de um polinômio, então:

I 1 = 3 2 r 2 - 1 3 r 3 sen ⁡ θ 2 0 = 3 2 2 2 - 1 3 2 3 sen ⁡ θ = 6 - 8 3 sen ⁡ θ

Substituindo isso na integral:

V = ∫ 0 2 π 6 - 8 3 sen ⁡ θ d θ

Agora vamos integrar em relação a θ :

V = 6 ∫ 0 2 π d θ - ∫ 0 2 π 8 3 sen ⁡ θ d θ

A primeira integral dá:

I 2 = 6 ∫ 0 2 π d θ = 6 θ 2 π 0 = 6 2 π - 0 = 12   π

E a segunda integral:

I 3 = ∫ 0 2 π - 8 3 sen ⁡ θ d θ = 8 3   cos ⁡ θ 2 π 0 = 8 3 cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0

I 3 = 8 3 1 - 1 = 0

Então:

V = 12 π + 0

V = 12 π

Resposta

O volume do sólido é 12 π .

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