Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z = x 2 + y 2 , acima do plano x y e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 x .

Passo 1

Calcular o volume entre a função f x ,   y = x 2 + y 2 e o plano x y dentro de uma região D é o mesmo que:

∬ D   x 2 + y 2   d x d y

Mas que região D é essa? Repare que o enunciado limitou a região de integração com um cilindro, que nada mais é que a “repetição” de uma circunferência para qualquer z . Portanto, o domínio que buscamos no plano x y , é limitado por uma circunferência de equação:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

Passo 2

Como tanto a função que vamos integrar como a região de integração possuem termos x 2 e y 2 , vamos utilizar coordenadas polares. Faremos, então:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Passo 3

Agora que já definimos a substituição que faremos, vamos analisar os novos intervalos de integração.

O termo 2 x da equação da circunferência indica que ela não está centrada na origem. Vamos, então, completar o quadrado para descobrirmos seu centro:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

x - 1 2 + y 2 = 1

Portanto, temos uma circunferência de raio 1 centrada em ( 1,0 ) , vamos representá-la graficamente:

O ângulo θ varia entre – π / 2 e π / 2 . Se não ficou claro a partir da imagem, pensa no seguinte: o ângulo deve cobrir toda a parte à direita o eixo y , e cresce no sentido anti-horário, certo? Então, a partir da origem, o ângulo θ deve começar cobrindo a parte de baixo da curva, e seu valor inicial é θ = - π / 2 . No ponto x = 2 , vamos ter θ = 0 . Quando a curva começa a ser fechada na origem, θ vai se aproximando do valor π / 2 .

r , varia entre 0 e a curva em vermelho, então, vamos substituir os valores que definimos para x e y na expressão do círculo:

r cos ⁡ θ 2 - 2 r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ 2 ≤ 0

r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - 2 r cos ⁡ θ ≤ 0

r 2 - 2 r cos ⁡ θ ≤ 0

r r - 2 cos ⁡ θ ≤ 0

Como r ≥ 0 sempre, teremos:

r - 2 cos ⁡ θ ≤ 0   → r ≤ 2 cos ⁡ θ  

D = { ( r , θ ) | 0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ ;   - π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 }

Passo 4

Vamos, então, montar a integral em coordenadas polares:

∫ - π / 2 π / 2   ∫ 0 2 cos ⁡ θ [ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 ] r   d r d θ =

= ∫ - π / 2 π / 2   ∫ 0 2 cos ⁡ θ [ cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 ]   r 2   r   d r d θ =

= ∫ - π / 2 π / 2   ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 3   d r d θ =

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a r :

= ∫ - π / 2 π / 2   r 4 4 r = 0 r = 2 cos ⁡ θ d θ =

= ∫ - π 2 π 2   16 cos 4 ⁡ θ 4   d θ = ∫ - π 2 π 2   4 cos 4 ⁡ θ   d θ =

Passo 6

Para integrar em relação a θ , vamos utilizar a fórmula do arco duplo: cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

= 4 ∫ - π 2 π 2   1 + cos ⁡ 2 θ 2 2   d θ =

= ∫ - π 2 π 2 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ   d θ =

Aplicando essa fórmula novamente:

= ∫ - π 2 π 2   1 + 2 cos ⁡ 2 θ + 1 + cos ⁡ 4 θ 2 d θ =

= 3 θ 2 + 2 sen ⁡ 2 θ 2 + sen ⁡ 4 θ 8 - π 2 π 2 =

= 3 π / 2 2 + 0 + 0 - 3 - π / 2 2 + 0 + 0 =

Resposta

3 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante
Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 - x - 2 y d x d y
Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.
Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .