Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2018.2, Questão 2c

Questão 2: Considere a região do espaço

W = x ,   y ,   z R 3   |   z 4 x 2 + y 2 ,   1 z 2

c) Calcule o volume de U = W x ,   y ,   z R 3   |   x 2 + y 2 1 .

Passo 1

ORA! Se quisermos o volume de um sólido, até o momento podemos calcular usando uma integral dupla!

V = R   f x ,   y - g x ,   y d A

Tudo que temos que fazer é encontrar quem são esses R , f e g aí e montar a integral! Vamos nessa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Acho interessante começarmos esse problema desenhando a região apenas para a gente ter uma noção geométrica do problema, vamos lá?

W = x ,   y ,   z R 3   |   z 4 x 2 + y 2 ,   1 z 2

Poxa, esse W aí é uma espécie de paraboloide, só que muito mais íngreme.

x ,   y ,   z R 3   |   x 2 + y 2 1

No entanto representa um cilindro de raio 1 . O sinal de maior significa apenas que estamos pra fora dele.

A intersecção dos dois de z = 1 até 2 nos dá essa região aqui:

Perceba que quando z = 1 , estamos na intersecção entre o cilindro e o “paraboloide íngreme”.

Passo 3

Ok, com isso a gente pode deve se recordar da Teoria e lembrar que as funções f e g representam as superfícies que estão por cima e a que está por baixo no sólido. No caso, observando novamente o nosso...

Dá pra perceber que por cima, o sólido está delimitado pelo plano   z = 2 , então...

f x ,   y = 2

E por baixo, temos uma delimitação pelo “paraboloide íngreme” de equação   z 4 = x 2 + y 2 , logo a função g x ,   y = z ...

g x ,   y = x 2 + y 2 4

Falta só descobrir quem é a região R neh? Vamos nessa?

Passo 4

Bem, a região R de integração é a sombra (projeção) do sólido no plano x y :

Essa sombra circular possui como bordas justamente as circunferências do limite inferior e superior do paraboloide...

W = x ,   y ,   z R 3   |   z 4 x 2 + y 2 ,   1 z 2

Como o limite inferior é z = 1 ...

z 4 = x 2 + y 2             x 2 + y 2 = 1

E o superior... z = 2 ...

z 4 = x 2 + y 2             x 2 + y 2 = 16

Então estamos delimitados em um anel entre o raio 1 e o raio 4 :

Passo 5

Ora, então se estamos trabalhando com uma região circular, nada mais justo que pensarmos nas coordenadas polares para facilitar a vida:

x = r cos θ

y = r sin θ

J = r

x 2 + y 2 = r 2

E a variação de r e θ podem ser obtidos simplesmente observando a região R de integração, onde a gente tira...

1 r 4

0 θ 2 π

Passo 6

Então, de acordo com o passo 1 estamos buscando essa integral aqui:

V = R   f x ,   y - g x ,   y d A  

V = R   2 - x 2 + y 2 4 d A

Substituindo as coordenadas polares não se esquecendo de multiplicar pelo jacobiano a função de integração...

V = 0 2 π 1 4 2 - r 2 4 J   d r d θ =

0 2 π 1 4 2 - r 1 2 r   d r d θ =

0 2 π 1 4 2 r - r 3 2   d r d θ

Ok! Agora é só realmente calcularmos essa integral. Começando pela de dentro...

0 2 π 1 4 2 r - r 3 2   d r d θ = 0 2 π r 2 - r 5 2 5 2 1 4 d θ =

0 2 π r 2 - 2 r 2 r 5 1 4 d θ = 0 2 π 4 2 - 2 4 2 4 5 - 1 2 - 2 1 2 1 5 d θ =

0 2 π 16 - 2 32 5 - 1 - 2 5 d θ = 0 2 π 16 - 64 5 - 1 - 2 5 d θ =

80 5 - 64 5 - 5 5 - 2 5 0 2 π d θ = 16 5 - 3 5 2 π =

26 5 π

Resposta

26 5 π

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