Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2014.2, Questão 1

Seja

R = x , y R 2 x 2 9 y 1 ,   0 x 3

Considere a função F : R R definida por

F x , y = e - y 3 y 3 2

e a integral dupla

I = R F x , y   d x d y

a) Faça um esboço apurado da região R e, ao lado, esboce seu interior.

b) Expresse I como um integral iterada, integrando primeiro com respeito a y e depois a x . Não é preciso calcular a integral!

c) Expresse I como integral iterada, integrando primeiro com respeito a x e depois a y . Não é preciso calcular a integral!

d) Calcule I .

e) Determine, usando igualdades e desigualdades, uma região espacial U cuja projeção no plano x y é R e cujo volume é igual ao valor de I .

Passo 1

a) Partiu esboçar essa região R ! Vamos olhar para a primeira desigualdade:

x 2 9 y 1

Ela nos diz que y está entre a parábola x 2 9 = y e y = 1 , certo? Então, desenhemos essa curva e a reta y = 1 !

Para a parábola, temos algo assim:

Sabemos que ela tem a boa virada para cima, pois o coeficiente de x 2 é positivo. Além disso, ela é bem aberta, pois esse coeficiente é menor que 1 ;)

Para a reta y = 1 , temos:

Show? Aqui, temos que prestar atenção no seguinte: colocando y = 1 na equação da parábola, quais são os valores de x ?

1 = x 2 9

x = ± 3

Portanto, a reta e a parábola se cruzam em 3,1 e - 3,1 ! Marque isso no seu gráfico!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, e agora? Ainda temos a segunda desigualdade! Ela é:

0 x 3

Ou seja, considerando a primeira desigualdade (curvas que desenhamos no passo anterior), temos que limitar nosso x entre 0 e 3 ! Assim, teremos apenas a parte do gráfico:

Veja que colocaram a região terminando exatamente no ponto de encontro da reta e da parábola ;)

Show! Agora sabemos tudo o que precisamos, e é só preencher a figura! Como, pela primeira desigualdade sabemos que y está acima da parábola e embaixo da reta, R é:

E, para o interior, basta jogar uma linha pontilhada no contorno:

Na realidade, quando o cara pede “o interior de R ”, ele quer exatamente a mesma coisa, mas nas desigualdades, em vez de sinais de , temos apenas < , sacou?

Passo 3

b) Adoro quando aparece no enunciado “não calcule a integral” XD Vamos lá, é só colocar os limites da região nos limites de integração! Como queremos integrar primeiro em relação a y , então o d y vem antes do d x . Como y é função de x , então essa já é a ordem natural de integração! Lembre: numa integral iterada, a integral de dentro fica com a variável que está entre duas funções, e a de fora fica entre constantes!

Enfim, teremos:

I = 0 3 x 2 9 1 e - y 3 y 3 2   d y d x

Beleza?

Passo 4

c) Agora, precisamos mudar a ordem de integração, primeiro a x e depois a y . Mas y é função de x ! Não é o x que está entre constantes? Pois, então, vamos fazer x virar função de y ! Para isso, devemos observar a região de integração “invertendo os eixos”:

Agora, em vez de pensar quem y está entre a parábola x 2 9 e 1 , que é o que vemos com a cabeça em pé, vamos fazer x virar função de y , e então, teremos:

x 2 9 = y

x = 9 y

x = 3 y

Agora, estamos na mesma figura, mas com a cabeça virada para a direita! Então, x está entre x = 0 e a parábola x = 3 y , e y está entre y = 0 e y = 1 ! Acho que facilita ver que x = 0 é o próprio eixo y , e y = 0 é o eixo x !

Agora podemos escreve a integral com esses limites que encontramos:

I = 0 1 0 3 y e - y 3 y 3 2   d x d y

Passo 5

d) Ok, agora temos que resolver essa integral. Qual das duas ordens de integração será a melhor? Bem, vejamos a primeira:

I = 0 3 x 2 9 1 e - y 3 y 3 2   d y d x

Nesse caso, teríamos que encontrar a primitiva de e - y 3 y 3 2 . Honestamente, assim, de cara, eu não tenho nenhuma ideia XD Mas... vendo a segunda opção,

I = 0 1 0 3 y e - y 3 y 3 2   d x d y

Não temos x no integrando! E, assim, já temos algum progresso logo de cara, o que parece bom :D Prosseguindo nessa integral, teremos:

I = 0 1 x e - y 3 y 3 2 0 3 y d y

Viu? Como não tínhamos x nenhum foi simples de integrar! Agora, colocando esses limites par ao x ,

I = 0 1 3 y 1 2 . e - y 3 . y 3 2   d y =

3 0 1 y 2 e - y 3 d y

Agora, podemos fazer uma substituição simples, colocando u = - y 3 , e, então, d u = - 3 y 2 d y .

Para os novos limites de integração, temos que, quando y = 0 , u = 0 , e, quando y = 1 , u = - 1 !

Teremos:

3 0 - 1 - y 2 e u d u 3 y 2 =

- 0 - 1 e u d u =

- e - 1 + e 0 = 1 - 1 e

Passo 6

e) Esse volume é a integral dupla de uma função sobre o domínio R , certo? Se estamos falando de volume, a função que devemos integrar é z = f 1 x , y - f 2 x , y , ou seja, estamos integrando, em uma área R , segmentos cujo comprimento é a “diferença de alturas” das funções.

Como o enunciado disse que o volume é a própria integral I que resolvemos, então z = f x , y - 0 , pois integramos apenas a f x , y ! Assim, sabemos que 0 z f x , y , e os limites para o x e para o y permanecem iguais ao do R . Nossa região é dada por:

U = x , y , z R 3 0 z e - y 3 y 3 2 , x 2 9 y 1 ,   0 x 3

Resposta

a)

b)   I = 0 3 x 2 9 1 e - y 3 y 3 2   d y d x

c)   I = 0 1 0 3 y e - y 3 y 3 2   d x d y

d) 1 - 1 e

e)   U = x , y , z R 3 0 z e - y 3 y 3 2 , x 2 9 y 1 ,   0 x 3

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