Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUC-RJ - Cálculo 3 - P1 2013.2 – 3

Seja a > 0 . Mostre que o volume do sólido S limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = a - x 2 - y 2 é igual a:

V S = π a 2 2

Sugestão: Use coordenadas polares. Justifique.

Passo 1

Vamos primeiro entender como calcular esse volume. Lembra que o volume que fica embaixo dessa função até o plano x y vai ser

V = D z d x d y = D a - x 2 - y 2 d x d y

Onde D é aquela região da função onde z = 0 Vamos descobrir que região é essa

z = a - x 2 - y 2

0 = a - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = a

Isso é uma circunferência de centro na origem e raio a

Como temos uma circunferência na região D vamos usar coordenadas polares.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Faremos então

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

Passo 3

Falta fazermos o intervalo de integração, como temos um circulo de raio a vamos ter

D = { ( r , θ ) | 0 r a ;   0 θ 2 π }

Passo 4

Vamos, então, montar a integral em coordenadas polares:

0 2 π   0 a [ a - r   c o s   θ 2 - r   s e n   θ 2 ] r d r d θ =

= 0 2 π   0 a a r - r 3   d r d θ =

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a r :

= 0 2 π   a r 2 2 - r 4 4 r = 0 r = a d θ = 0 2 π   a a 2 2 - a 4 4 d θ

= 0 2 π a 2 2 - a 2 4   d θ =   0 2 π a 2 4 d θ =

Passo 6

Integrando, agora, em relação a θ , temos:

= a 2 θ 4 0 2 π = a 2 4 2 π - 0 = a 2 π 2

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