Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2013.1, Questão 3

Seja R = D H , onde D é o disco fechado de raio 2 centrado no ponto 0,2 e H é o semiplano fechado x 0

  1. Esboce a região plana R e determine-a através de desigualdades em coordenadas polares r e θ
  2. Usando coordenadas polares, escreva a integral dupla
  3. I = R y d x d y

    Na forma

    a b f θ d θ

    Explicitando as constante a e b e a função f θ

    Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral a b f θ d θ

  4. Escreva o volume do sólido U em função de I (sendo I a integral do item anterior), onde

U = x , y , z R 3 0 z y + 1 , x , y R

Passo 1

a) Vamos lá! Comecemos visualizando esse disco!

Sabemos que a equação de um disco centrado na origem com raio 2 é x 2 + y 2 4 , show? Para transladar essa bolota no eixo y , basta colocarmos, em vez de y 2 , y - 2 2 ! Se não lembra disso, veja a equação geral da circunferência:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = R 2

no caso da nossa, temos o y 0 = 2 :) E a equação do disco fica:

x 2 + y - 2 2 4

Aqui vai uma figura pra ajudar:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, e agora? Vamos fazer a interseção desse disco com o semiplano? Como ele é x 0 , então temos que preencher tudo o que estiver no primeiro e quarto quadrantes! Fica assim:

Show? E a interseção é a parte que está tanto no disco como no semiplano, em roxo :D

Passo 3

Bem, ainda não parametrizamos a região, né? Mas aqui o caminho é simples: tudo o que temos que fazer é parametrizar o disco, e depois restringir os parâmetros para apenas a parte do primeiro quadrante, consegue visualizar?

Sabemos que a equação do disco é:

x 2 + y - 2 2 4

Usando coordenadas polares, temos x = r cos θ e y = r sin θ , tendo θ como o ângulo com o eixo x e r a distância da origem. Quanto ao jacobiano da mudança polar, lembre, é r !

Então, colocando a parametrização na equação do disco, temos:

r cos θ 2 + r sin θ - 2 2 4

r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ - 4 r sin θ + 4 4

r 2 cos 2 θ + sin 2 θ - 4 r sin θ 0

como o termo entre parêntesis é sempre 1 ,

r 4 sin θ

Show! Agora já sabemos de quanto a quanto nosso raio varia! E lembrando que como R está no primeiro quadrante, θ varia entre 0 e π 2 !

Passo 4

b) Partiu montar a integral! Como a função que estamos integrando é simplesmente y , então no lugar dela colocamos r sin θ . Lembrando, ainda, que o jacobiano vale r ,

0 π 2 0 4 sin θ r sin θ . r   d r d θ

Lembrando que no passo anterior vimos que r 4 sin θ ! Prosseguindo, temos:

0 π 2 0 4 sin θ r 2 sin θ d r d θ

0 π 2 r 3 3 . sin θ r = 0 r = 4 sin θ d θ

0 π 2 r 3 3 . sin θ r = 0 r = 4 sin θ d θ

0 π 2 4 3 sin 3 θ 3 . sin θ d θ

0 π 2 64 sin 4 θ 3 d θ

E aí está! f θ = 64 sin 4 θ 3 , a = 0 e b = π 2 ;)

Passo 5

c) Show! Para calcular volumes com integrais duplas, temos que integrar a função f x , y num determinado domínio, certo? No caso, z é a função y + 1 - 0 , e o domínio é o mesmo de sempre (a tal interseção do disco com o semiplano). Lembrando que esse 0 que coloquei aí desnecessariamente é apenas para lembrar que o domínio fosse entre " k " e a f x , y , teríamos que fazer essa diferença!

Temos, assim:

U = 0 π 2 0 4 sin θ y + 1   d r d θ

E podemos separar em duas integrais!

0 π 2 0 4 sin θ y   d r d θ + 0 π 2 0 4 sin θ 1   d r d θ

A integral da esquerda, já temos, que é a nossa " I " .

A outra, é a integral dupla de uma constante, ou seja, uma área! E que área é essa? Da região R ! Essa, por sua vez, é metade da área de um disco de raio 2 , ou seja, π 2 2 2 = 2 π

Então, o volume fica sendo:

U = I + 2 π

Resposta

a)

b)   0 π 2 64 sin 4 θ 3 d θ

c)   U = I + 2 π

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