Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2016.1, Questão 2

Seja U R 3 a região do espaço definida por

U = x , y , z R 3 1 z 2 e - x 2 + y 2

Seja

A = U x , y , z R 3 z = 3 2

  1. Esboce a fronteira de U e no mesmo desenho esboce A , hachurando A .
  2. Calcule o volume de U .

Passo 1

Letra a)

Vamos lá galera, essa região U é bem estranha né? O limite inferior é até tranquilo de entender, simplesmente z 1 , que é um plano paralelo a x y . Agora, o limite superior vamos ter que tomar mais cuidado, beleza?

Antes de mais nada, vamos escrever aqui a função que temos que esboçar

z = 2 e - x 2 + y 2

z = 2 1 e x 2 + y 2

Primeira observação é que o expoente “ x 2 + y 2 ” é sempre positivo, com isso o denominador

e x 2 + y 2 1

Sabemos então que

0 1 e x 2 + y 2 1

0 2 e x 2 + y 2 2

E portanto, como esse termo do meio é igual a z , os seus limites seriam

0 z 2

Mas o enunciado lá em cima diz que z 1 , lembra? Então seus limites são

1 z 2

Beleza, já sabemos que z varia num intervalo pequeno, mas como vamos fazer o esboço dessa função bizarra? Vamos ter que fazer uma mudança de variáveis aqui pra facilitar nossa vida! Note que temos o termo x 2 + y 2 ali né? Quando esse cara aparece geralmente vamos fazer uma mudança polar, assim

x = r cos θ

y = r sen θ

Dessa forma

z = 2 e r 2

Vamos tentar reorganizar isso ai

e r 2 = 2 z

ln 2 z = r 2

Perceba agora que, para cada valor de z, vamos ter um raio associado! Por exemplo,

z = 2 ln 2 2 = r 2

r = 0

z = 1 ln 2 1 = r 2

r = ln 2

Já começamos a ter uma ideia da função no plano x z né?

Como fizemos tudo isso em coordenadas cilíndricas, só precisamos rotacionar essa superfície em torno do eixo z para gerar nosso sólido! Fica assim

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos já a fronteira de U , só que, além disso, o enunciado te pede pra desenhar uma região A que é a interseção desse sólido com o plano z = 3 2 . É exatamente isso que precisamos fazer! Simplesmente desenhar um plano cortando esse sólido e marcar a região A .

A região A vai ser interior ao sólido, fica assim o esboço final

Passo 3

Letra b)

Vamos calcular o volume agora né? Sabemos que os limites inferiores e superiores de z são esses aqui

1 z 2 e x 2 + y 2

Portanto, para calcularmos esse volume, precisamos calcular a seguinte integral

D 2 e x 2 + y 2 - 1 d A

Beleza, e como fazemos isso? Precisamos projetar esse sólido no plano x y , achar os limites de integração e, por fim, calcular a integral.

E quem vai ser essa região D ? Bom, como o nosso sólido foi obtido rotacionando uma superfície, nada mais justo que no plano x y aparecer um círculo! Até porque fizemos uma mudança polar, lembra?

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

0 θ 2 π

E quais vão ser os limites de r ? Isolamos r nessa função lá no passo 1, ficou assim

ln 2 z = r 2

Graficamente, vemos que o menor raio do nosso sólido aparece quando r = 0 e, por outro lado, o maior raio aparece quando z = 1 , não é? Portanto

z = 2 ln 2 2 = r 2

r = 0

z = 1 ln 2 1 = r 2

r = ln 2

0 r ln 2

Passo 4

Pronto, encontramos os limites! Vamos substituir tudo na integral

V = 0 2 π 0 ln 2 2 e r 2 - 1 r d r d θ

V = 0 2 π 0 ln 2 2 r e r 2 - r d r d θ

Passo 5

Para integrar em r , vamos dividir em duas integrais:

V = 0 2 π 0 ln 2 2 r e - r 2 d r d θ - 0 2 π 0 ln 2 r d r d θ

Para resolver a primeira, precisamos fazer uma mudança de variável

r 2 = u

2 r   d r = d u

r = ln 2 u = ln 2

r = 0 u = 0

Reescrevendo fica assim

0 2 π 0 ln 2 e - u d u d θ

= 0 2 π - e - u 0 ln 2 d θ = 0 2 π - e - ln 2 - e 0 d θ

Aqui, é valido lembra da propriedade de logaritmo neperiano que diz que

e ln a = a

Portanto

0 2 π - 1 e ln 2 - 1 d θ = 0 2 π - 1 2 - 1 d θ

= 0 2 π 1 2 d θ = 1 2 2 π = π

Passo 6

A segunda integral e mais facilmente calculada

0 2 π 0 ln 2 r d r d θ = 0 2 π r 2 2 r = 0 r = ln 2 d θ

= 0 2 π ln 2 2 d θ = ln 2 2 2 π

= π ln 2

Passo 7

O volume de U vai ser

V = 0 2 π 0 ln 2 2 r e - r 2 d r d θ - 0 2 π 0 ln 2 r d r d θ

V = π - π ln 2

Resposta

a)

b) V = π - π ln 2

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