Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2014.2, Questão 2

Seja a região plana

R = x , y R 2     |     x 2 + y 2 2 x y ,   x 0 ,   y 0

a)

  • Determine a região R em coordenadas polares, usando desigualdades, no seguinte formato:
  • g θ r h θ ,   α θ < β

    explicitando as funções g e h e as constantes α e β .

  • Determine a fronteira da região R em coordenadas polares, usando igualdades e desigualdades.
  • b) Determine as coordenadas radiais r dos pontos de fronteira de R para θ = 0 , π 8 , π 4 , 3 π 8 e π 2 . Em seguida, marque os pontos no desenho abaixo e esboce R .

    c) Considere a região espacial

    U = x , y , z R 3     0 z x y ,   x 2 + y 2 2 x y ,   x 0 ,   y 0

  • Escreva o volume U na forma de uma integral dupla iterada nas coordendas polares r e θ .
  • Calcule o volume U .

Passo 1

a) Desigualdades feia né? Mas, façamos o que o enunciado pede: vamos tacar x = r cos θ e y = r sin θ , pois estamos em coordenadas polares!

x 2 + y 2 2 x y

Reescrevendo as variáveis,

r 2 sin 2 θ   + r 2 cos 2 θ   2 r cos θ r sin θ

Como sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ,

r 4 r 2 sin θ cos θ

Sabemos que sin 2 θ = 2 sin θ cos θ , então,

r 4 r 2 sin 2 θ 2

Cortando os r 2 , temos:

r 2 sin 2 θ 2

Finalmente, como sabemos que o raio é uma dimensão sempre positiva, e que, pela relação acima não é maior que sin 2 θ 2 , então:

0 r 2 sin 2 θ 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, já temos os limites para o raio. E o θ , de quanto a quanto ele varia? Para isso, podemos olhar para a segunda e terceira desigualdades!

y 0

x 0

Colocando em coordenadas polares,

r sin θ 0

r cos θ 0

E então, como r é sempre 0 , temos que sin θ   e cos θ   devem ser maiores do que 0 simultaneamente! Isso só ocorre quando θ 0 , π 2 :D

Nossa região, por fim, é definida como:

R = r , θ R 2 0 r 2 sin 2 θ 2 ,   θ 0 , π 2

E, para sua fronteira, temos que manter o R fixo em seu valor máximo, e percorrer o contorno de R , dado por:

δ R = r , θ R 2 r = sin 2 θ 2 ,   θ 0 , π 2

Viu? É a mesma coisa, só que em vez de , temos um = ;)

Passo 3

b) Vamos lá, agora é trabalho braçal! Para ver os pontos da fronteira de R , pegamos a equação r = sin 2 θ 2 , substituímos cada θ pedido e vemos o valor para o raio.

Para θ = 0 , temos:

r = sin 2.0 2 = 0

Para θ = π 8 , temos:

r = sin 2 . π 8 2 =

sin π 4 2 = 2 4 = 2 4 2

Para θ = π 4 , temos:

r = sin 2 . π 4 2 =

sin π 2 2 = 1 2 = 2 2

Para θ = 3 π 8 , temos:

r = sin 2 3 π 8 2 =

sin 3 π 4 2 = 2 4 2

Para θ = π , temos:

r = sin 2 π 2 = 0

Passo 4

Agora, precisamos juntar os pontos

E agora a gente usa da nossa malandragem. Sabemos que senos e cossenos tem sempre a ver com coisas curvas. Então, para esboçar o contorno de R , vamos traçar uma curva que passe por esses pontos :D É algo parecido com uma gota:

Passo 5

c) Estamos quase lá! Segura mais essa questão! Veja, temos uma região U , dada por:

U = x , y , z R 3     0 z x y ,   x 2 + y 2 2 x y ,   x 0 ,   y 0

Sabemos que as três últimas desigualdades dizem respeito à região R , certo? A única coisa nova que apareceu foi esse 0 z x y , que nada mais é do que a função que estamos integrando! Essa desigualdade nos diz que devemos integrar a função x y ao longo da região R !

Como sabemos, dos passos anteriores, que R é definida com θ entre duas contantes, 0 e π 2 e r é funçnao de θ , nossa integral, com o jacobiano, fica:

0 π 2 0 sin 2 θ 2 r r 2 sin θ cos θ   d r d θ

Lembrando que, em coordenadas polares x y = r 2 sin θ cos θ ;)

Passo 6

Vamos agora resolver essa integral? Primeiro, passemos esse r 2 para fora da raiz:

0 π 2 0 sin 2 θ 2 r 2 sin θ cos θ   d r d θ

Integrando em relação a r , teremos:

0 π 2 r 3 3 sin θ cos θ 0 sin 2 θ 2     d θ

Colocando os limites para o r ,

1 3 0 π 2 sin θ cos θ sin 2 θ 2 3 d θ

Mas, lembra da relação que usamos lá no início, sin θ cos θ = sin 2 θ 2 ? Então, o que temos aqui é:

1 3 0 π 2 sin 2 θ 2 4 d θ =

1 3 0 π 2 sin 2 2 θ 4 d θ

Agora, usando que sin 2 θ = 1 - cos 2 θ 2 , teremos:

1 12 0 π 2 1 - cos 4 θ 2 d θ

E, agora sim, podemos encontrar a primitiva, que é:

1 12 θ 2 - sin 4 θ 2 0 π 2 =

1 12 π 4 - sin 2 π 2 - 0 2 + sin 0 2 =

π 48

Ufa! Finalmente, taí o volume!

Resposta

a) R = r , θ R 2 0 r sin 2 θ 2 ,   θ 0 , π 2 ; δ R = r , θ R 2 r = sin 2 θ 2 ,   θ 0 , π 2

b)

c)   0 π 2 0 sin 2.0 2 r r 2 sin θ cos θ   d r d θ e V o l U = π 48

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas