Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 4c

  1. Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W limitado por:

c )   x = 0 ,               y = 0 ,     z = 0 ,         x 2 + y 2 = a 2   ,           x 2 + z 2 = a 2  

a > 0 , situado no primeiro octante.

Passo 1

Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido W . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?

Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui essas três mais fáceis:

x = 0 ,   y = 0 ,   e   z = 0 , nos representam três planos simples que se desenharmos os tês juntos, ele nos delimitará justamente o primeiro octante que queremos. Veja!

Agora, quanto a essas outras duas últimas superfícies mais chatinhas, me acompanhe melhor aqui! ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para superfície que só dependem de duas incógnitas, podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, x 2 + y 2 = a 2 , note no plano X Y nos representa uma circunferência de raio a e que vou desenha-la aqui pra você ohhh:

Pois bem! Agora como essa equação não depende de z , o que deve ser feito é “puxar” essa circunferência aí em torno do eixo z , saca? Então essa é a superfície:

No caso... É um cilindro!

Passo 3

Agora façamos o mesmo com essa outra superfície: x 2 + z 2 = a 2 . Vamos lá! Agora pra ver se você entendeu como desenhar esse tipo de superfície, heim!

Primeiro devemos...?

desenhar a equação no plano (no caso no plano X Z ):

Depois devemos...?

“Puxar��� em torno do outro eixo (no caso aqui é o Y ):

Um outro cilindro de mesmo raio a que o primeiro, viu?! :D

Passo 4

Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas coisas juntas. Assim, o nosso sólido é...

esse cara apontado por esta seta !

Passo 5

Para se calcular o volume desse pedacinho W , como você já sabe, devemos aplicar a fórmula do volume:

V W = D   f x , y d V

Onde se percebe que precisamos obter algumas informações cruciais para matar a questão:

  • Precisamos saber quem é essa função f ( x ,   y ) a ser integrada.
  • Além disso, precisamos saber quem é a região D de integração.

Para ambas as questões, basta que olhemos para o sólido W novamente e com mais cautela:

Repare que a função que devemos integrar, f x , y , é exatamente esse cilindro azul que é o teto do sólido, W , percebeu?

Como a equação do cilindro azul é   x 2 + z 2 = a 2 , basta que isolemos z ...

z 2 = a 2 - x 2                       z = a 2 - x 2

que já percebemos que é a função a ser integrada:

f x , y = z = a 2 - x 2

Passo 6

Enquanto isso... A região de integração nada mais é do que a sombra desse “teto” no plano X Y , o que formalmente chamamos de projeção no plano! Veja ;0

Ou... visualizando de cima pra baixo...

Repare que toda a sombra do sólido está sendo delimitada pelo cilindro vermelho também de raio a :   x 2 + y 2 = a 2 . Porém só queremos o pedacinho no primeiro quadrante !

Descrevendo essa região como do Tipo :

0 x a

0 y P e d a ç o   v e r m e l h o

Para o “Pedaço vermelho” basta isolar o y na equação da circunferência vermelha:

x 2 + y 2 = a 2                       y 2 = a 2 - x 2        

y = ± a 2 - x 2

Lembre-se que só queremos o pedaço de cima, logo...

0 y a 2 - x 2

Passo 7

Voltando então para a integral que devemos resolver...

V W = D   f x , y d V

e substituindo tudo

V W = 0 a 0 a 2 - x 2 a 2 - x 2   d y d x

Então agora é só resolver! Bora?

Primeiro a de dentro...

0 a 0 a 2 - x 2 a 2 - x 2   d y d x = 0 a 0 a 2 - x 2 a 2 - x 2   d y d x

como a função só depende de   x , ela pode cair fora da integral de dentro...

0 a a 2 - x 2 0 a 2 - x 2 1   d y d x =

0 a a 2 - x 2   y 0 a 2 - x 2 d x =

Substituindo em y ...

0 a a 2 - x 2 a 2 - x 2 d x =

0 a a 2 - x 2 d x

Integrando em x ...

0 a a 2 - x 2 d x = a 2 x - x 3 3 0 a =

a 2 a - a 3 3 = 2 a 3 3

Resposta

C )       2 a 3 3

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