Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 4d

  1. Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W limitado por:

c )   x = 0 ,               y = 0 ,     z = 0 ,         z = 6 - x   ,           x = 4 - y 2  

situado no primeiro octante.

Passo 1

Bem a primeira coisa que devemos fazer aqui é tentar entender um pouco mais sobre esse sólido W . E não há nada melhor pra entendê-lo do que o desenhando no espaço. Bora?

Devemos começar desenhando cada uma dessas superfícies, vamos começar aqui essas três mais fáceis:

x = 0 ,   y = 0 ,   e   z = 0 , nos representam três planos simples que se desenharmos os tês juntos, ele nos delimitará justamente o primeiro octante que queremos. Veja!

Agora, quanto a essas outras duas últimas superfícies mais chatinhas, me acompanhe melhor aqui! ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para superfície que só dependem de duas incógnitas, podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, z = 6 - x , note no plano X Z nos representa uma reta decrescente dessa forma:

Pois bem! Agora como essa equação não depende de y , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo y , saca? Então essa é a superfície:

No caso... É um plano!

Passo 3

Agora façamos o mesmo com essa outra superfície: x = 4 - y 2 . Vamos lá! Agora pra ver se você entendeu como desenhar esse tipo de superfície, heim!

Primeiro devemos...?

desenhar a equação no plano (no caso no plano X Y ):

Depois devemos...?

“Puxar” em torno do outro eixo (no caso aqui é o Y ):

Surge um cilindro parabólico, viu?! :D

Passo 4

Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas coisas juntas. Assim, o nosso sólido é...

esse cara apontado por esta seta !

Passo 5

Para se calcular o volume desse pedacinho W , como você já sabe, devemos aplicar a fórmula do volume:

V W = D   f x , y d V

Onde se percebe que precisamos obter algumas informações cruciais para matar a questão:

  • Precisamos saber quem é essa função f ( x ,   y ) a ser integrada.
  • Além disso, precisamos saber quem é a região D de integração.

Para ambas as questões, basta que olhemos para o sólido W novamente e com mais cautela:

Repare que a função que devemos integrar, f x , y , é exatamente esse plano azul que é o teto do sólido, W , percebeu?

Como a equação do cilindro azul é   z = 6 - x , concluímos que

f x , y = z = 6 - x

Passo 6

Enquanto isso... A região de integração nada mais é do que a sombra desse “teto” no plano X Y , o que formalmente chamamos de projeção no plano! Veja ;0

Ou... Visualizando de cima pra baixo...

Repare que toda a sombra do sólido está sendo delimitada pela parábola vermelha, x = 4 - y 2 . Porém só queremos o pedacinho no primeiro quadrante !

Essa parábola passa por y = 2 quando x = 0 como pode ser observado no desenho e

0 = 4 - y 2                     y 1 = 2 y 2 = - 2

Porém só queremos a parte de cima, então se desconsidera essa parte negativa !

Descrevendo essa região como do Tipo 2 para facilitar as contas (se não teremos que xtrairmos raiz e tal ):

0 y 2

0 x P e d a ç o   v e r m e l h o

Porém o “Pedaço vermelho” é x = 4 - y 2 :

0 x 4 - y 2

Passo 7

Voltando então para a integral que devemos resolver...

V W = D   f x , y d V

e substituindo tudo

V W = 0 2 0 4 - y 2 6 - x   d x d y

Então agora é só resolver! Bora?

Primeiro a de dentro...

0 2 0 4 - y 2 6 - x   d x d y = 0 2 0 4 - y 2 6 - x   d x d y =

Integrando...

0 2 6 x - x 2 2 0 4 - y 2 d y =

0 2 6 4 - y 2 - 4 - y 2 2 2 d y =

Simplificando...

0 2 24 - 6 y 2 - 16 - 8 y 2 + y 4 2 d y =

0 2 16 - 2 y 2 - y 4 2 d y

Integrando...

16 y - 2 y 3 3 - y 5 2 5 0 2 =

16 2 - 2 2 3 3 - 2 5 2 5 = 32 - 16 3 - 32 10 =

352 15

Resposta

d )         352 15

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