Q 13 - Uma partícula de massa m 1 = m se movimenta com velocidade v → = v i ^   ( m / s ) e colide elasticamente com uma partícula em repouso de massa m 2 = n m como mostrado na figura. Após a colisão, é observado que as duas partículas têm mesma componente x dos vetores velocidade. Determine o módulo do vetor velocidade da partícula de massa m 2 , em m / s , imediatamente após a colisão.

Passo 1

Vamos resolver essa juntos? Então vamos!

Para encontrar o módulo do vetor velocidade de m 2 vamos usar a conservação de momento do sistema e ainda se for preciso a conservação de energia já que a colisão foi elástica.

O momento inicial (antes da colisão) só é composto pelo o momento de m 1 , já que m 2 está em repouso, já o momento final tem contribuição das duas partículas, então temos o seguinte:

p → i = p → f

⇒ m 1 v → i 1 = m 1 v → f 1 + m 2 v → f 2

Vamos dá uma cara para os vetores das velocidades finais, para melhorar a cara dessa equação e para facilitar nossa vida na hora de usar a conservação de energia, já que lá precisamos dos módulos das velocidades.

v → f 1 = v x 1 i ^ + v y 1 j ^

v → f 2 = v x 2 i ^ + v y 2 j ^

Passo 2

Usando essas expressões do final do passo 1 e as expressões das massas a equação do momento fica da seguinte forma:

m v i ^ = m ( v x 1 i ^ + v y 1 j ^ ) + n m ( v x 2 i ^ + v y 2 j ^ )

⇒ v i ^ = v x 1 i ^ + v y 1 j ^ + n v x 2 i ^ + n v y 2 j ^

Disso tiramos que:

v = v x 1 + n v x 2

0 = v y 1 + n v y 2

E segundo o enunciado temos que as componentes x das duas massas são iguais, logo:

v x 2 = v x 1

Logo temos que:

v x 2 = v x 1 = v n + 1

E da segunda equação, referente a direção y , temos:

v y 1 = - n v y 2

Passo 3

Agora falta encontrar uma expressão melhor para v y 2 , para isso vamos usar a conservação da energia cinética, temos o seguinte:

K i = K f

m 1 v 2 2 = m 1 v x 1 2 + v y 1 2 2 + m 2 v x 2 2 + v y 2 2 2

⇒ m v 2 = m v x 1 2 + v y 1 2 + n m v x 2 2 + v y 2 2

⇒ v 2 = v x 1 2 + v y 1 2 + n v x 2 2 + v y 2 2

Su8bstituindo com as expressões que conhecemos, temos:

v 2 = v 2 n + 1 2 + n 2 v y 2 2 + n v 2 n + 1 2 + v y 2 2

= v 2 n + 1 2 + n v 2 n + 1 2 + n v y 2 2 ( n + 1 )

= v 2 ( 1 + n ) n + 1 2 + n v y 2 2 ( n + 1 )

Com isso, temos que:

v 2 = v 2 n + 1 + n v y 2 2 ( n + 1 )

⇒ n v y 2 2 n + 1 = n v 2 n + 1  

Assim temos que:

v y 2 = ± v n + 1

Mas se olharmos a figura vemos que a bola m 2 foi para direção positiva de y , logo o valor que nos interessa é o positivo.

Com esse resultado que chegamos vemos que:

v x 2 = v y 2 = v n + 1

Passo 4

Agora podemos montar o vetor v → f 2 , temos:

v → f 2 = v n + 1 i ^ + v n + 1 j ^

Agora vamos calcular o módulo que o enunciado quer saber.

v → f 2 = v n + 1 2 + v n + 1 2

= 2 v n + 1 2

Logo temos que:

v → f 2 = v n + 1 2

E está feito o que o problema queria!

Resposta

v → f 2 = v n + 1 2

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