Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

UFF, Física 1, Prova 2, 2015.2

Dois objetos se encontram sobre uma superfície horizontal sem atrito. Um objeto de 2,50 kg de massa colide elasticamente com outro de 3,60 kg que, inicialmente, está em repouso. O objeto mais leve possui, após a colisão, uma rapidez de 4,00 m/s e se move formando um ângulo θ 1 em relação à sua direção original; o objeto mais pesado possui uma rapidez de 2,50 m/s e se move formando um ângulo θ 2 , conforme é mostrado na figura.

(a) Explique se o momento do objeto mais leve se conserva ou não.

(b) Determine a rapidez inicial do objeto mais leve.

(c) Calcule os ângulos θ 1 e θ 2

Passo 1

Vamos começar pelo item (a). Para entendermos se o momento do objeto mais leve se conserva ou não, vamos analisa-lo.

O momento linear de objeto mais leve antes da colisão é:

p i = m 1 v 0 = 2,50   v 0   î

Após a colisão temos:

p f = m 1 v f c o s θ 1   î   + m 1 v f s e n θ 1   j

Isso acontece por que o vetor da velocidade final pode ser decomposto tanto no eixo x quanto no eixo y.

A partir disso, podemos que concluir que o momento inicial é diferente do vetor momento final. Logo, concluímos que o momento do objeto mais leve não se conversa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos determinar agora o pedido pelo item (b): a velocidade inicial do objeto mais leve.

Sabemos que a colisão ocorre num sistema isolado e, portanto, o momento total desse sistema, que é formado pelos dois objetos, se conserva:

p i 1 + p i 2 = p f 1 + p f 2

Sabemos também que a colisão é elástica e isso significa que a energia cinética do sistema se

conserva. Assim, podemos montar, lembrando que a velocidade inicial do objeto 2 é nula:

m 1 v 0 2 2 = m 1 v f 1 2 2 + m 2 v f 2 2 2

Como temos:

v f 1 = 4   m / s

v f 2 = 2,5   m / s  

m 1 = 2,50   k g

m 2 = 3,60   k g

Podemos manipular essa equação e descobrir v 0 :

v 0 2 = v f 1 2 + m 2 m 1 v f 2 2

v 0 2 = 16 + 1,44 x 6,25

v 0 2 = 25

v 0 = 5   m / s

Passo 3

No item (c), são pedidos os valores dos ângulos θ 1 e θ 2 :

Podemos enunciar novamente a equação da conservação do momento linear do sistema:

p i 1 + p i 2 = p f 1 + p f 2

Como temos componentes das velocidades finais tanto no eixo x quanto no eixo y, podemos escrever a equação de conservação do momento linear para cada eixo:

Para o eixo x, temos:

m 1 v 0 = m 1 v f 1 c o s θ 1 + m 2 v f 2 c o s θ 2

Para o eixo y, temos:

0 = m 1 v f 1 s e n θ 1 - m 2 v f 2 s e n θ 2

Vamos manipular essas duas equações montadas para cada eixo a fim de descobrirmos os valores dos ângulos:

Da equação do eixo x, podemos escrever:

m 2 v f 2 c o s θ 2 = m 1 v 0 - m 1 v f 1 c o s θ 1

Da equação do eixo y, podemos escrever:

m 2 v f 2 s e n θ 2 = m 1 v f 1 s e n θ 1

Agora, vem uma parte mais chatinha. Vamos elevar ao quadrado as duas equações e soma-las.

Mas, por que isso?

Porque temos aquela identidade antiga de

s e n θ 2 + c o s θ 2 = 1

E colocando ao quadrado, temos grandes chances de utiliza-la.

Show!

Vamos lá!

Colocamos ao quadrado cada equação e, em seguida, somamos:

m 2 2 v f 2 2 c o s θ 2 2 = m 1 v 0 - m 1 v f 1 c o s θ 1 2 = m 1 2 v 0 2 - 2 m 1 2 v 0 v f 1 c o s θ 1 + m 1 2 v f 1 2 c o s θ 1 2

+

m 2 2 v f 2 2 s e n θ 2 2 = m 1 2 v f 1 2 s e n θ 1 2

=

c o s θ 2 2 + s e n θ 2 2 m 2 2 v f 2 2 = c o s θ 1 2 + s e n θ 1 2 m 1 2 v f 1 2 + m 1 2 v 0 2 - 2 m 1 2 v 0 v f 1 c o s θ 1

Show! Agora que somamos, viu a utilidade do quadrado?

Podemos aplicar a identidade e deixar a equação bem mais simples:

s e n θ 2 + c o s θ 2 = 1

m 2 2 v f 2 2 = m 1 2 v f 1 2 + m 1 2 v 0 2 - 2 m 1 2 v 0 v f 1 c o s θ 1

Agora temos uma única incógnita, o c o s θ 1 . Podemos manipular:

c o s θ 1 = m 1 2 v f 1 2 + m 1 2 v 0 2 - m 2 2 v f 2 2 2 m 1 2 v 0 v f 1

Como já temos todos esses valores:

v f 1 = 4   m / s

v f 2 = 2,5   m / s  

m 1 = 2,50   k g

m 2 = 3,60   k g

v 0 = 5   m / s

Podemos substituir:

c o s θ 1 = 175,25 250 = 0,701

θ 1 = 45,50 °

Só falta acharmos θ 2 agora:

Uma boa saída é voltarmos com a equação:

m 2 v f 2 s e n θ 2 = m 1 v f 1 s e n θ 1

Manipulando:

s e n θ 2 = m 1 v f 1 s e n θ 1 m 2 v f 2

Sabemos que s e n 45 ° = 0,71325

Substituindo os valores, chegamos a:

s e n θ 2 = 0,793

θ 2 = 52,46   °

Ufa! Essa questão era realmente cansativa!

Resposta

  1. momento do objeto mais leve não se conversa.
  2. v 0 = 5   m / s

θ 1 = 45,50 ° e θ 2 = 52,46   °

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