Dois objetos se encontram sobre uma superfície horizontal sem atrito. Um objeto de 2,50 kg de massa colide elasticamente com outro de 3,60 kg que, inicialmente, está em repouso. O objeto mais leve possui, após a colisão, uma rapidez de 4,00 m/s e se move formando um ângulo θ 1 em relação à sua direção original; o objeto mais pesado possui uma rapidez de 2,50 m/s e se move formando um ângulo θ 2 , conforme é mostrado na figura.

(a) Explique se o momento do objeto mais leve se conserva ou não.

(b) Determine a rapidez inicial do objeto mais leve.

(c) Calcule os ângulos θ 1 e θ 2

Passo 1

Vamos começar pelo item (a). Para entendermos se o momento do objeto mais leve se conserva ou não, vamos analisa-lo.

O momento linear de objeto mais leve antes da colisão é:

p i = m 1 v 0 = 2,50   v 0   î

Após a colisão temos:

p f = m 1 v f c o s θ 1   î   + m 1 v f s e n θ 1   j

Isso acontece por que o vetor da velocidade final pode ser decomposto tanto no eixo x quanto no eixo y.

A partir disso, podemos que concluir que o momento inicial é diferente do vetor momento final. Logo, concluímos que o momento do objeto mais leve não se conversa.

Passo 2

Vamos determinar agora o pedido pelo item (b): a velocidade inicial do objeto mais leve.

Sabemos que a colisão ocorre num sistema isolado e, portanto, o momento total desse sistema, que é formado pelos dois objetos, se conserva:

p i 1 + p i 2 = p f 1 + p f 2

Sabemos também que a colisão é elástica e isso significa que a energia cinética do sistema se

conserva. Assim, podemos montar, lembrando que a velocidade inicial do objeto 2 é nula:

m 1 v 0 2 2 = m 1 v f 1 2 2 + m 2 v f 2 2 2

Como temos:

v f 1 = 4   m / s

v f 2 = 2,5   m / s  

m 1 = 2,50   k g

m 2 = 3,60   k g

Podemos manipular essa equação e descobrir v 0 :

v 0 2 = v f 1 2 + m 2 m 1 v f 2 2

v 0 2 = 16 + 1,44 x 6,25

v 0 2 = 25

v 0 = 5   m / s

Passo 3

No item (c), são pedidos os valores dos ângulos θ 1 e θ 2 :

Podemos enunciar novamente a equação da conservação do momento linear do sistema:

p i 1 + p i 2 = p f 1 + p f 2

Como temos componentes das velocidades finais tanto no eixo x quanto no eixo y, podemos escrever a equação de conservação do momento linear para cada eixo:

Para o eixo x, temos:

m 1 v 0 = m 1 v f 1 c o s θ 1 + m 2 v f 2 c o s θ 2

Para o eixo y, temos:

0 = m 1 v f 1 s e n θ 1 - m 2 v f 2 s e n θ 2

Vamos manipular essas duas equações montadas para cada eixo a fim de descobrirmos os valores dos ângulos:

Da equação do eixo x, podemos escrever:

m 2 v f 2 c o s θ 2 = m 1 v 0 - m 1 v f 1 c o s θ 1

Da equação do eixo y, podemos escrever:

m 2 v f 2 s e n θ 2 = m 1 v f 1 s e n θ 1

Agora, vem uma parte mais chatinha. Vamos elevar ao quadrado as duas equações e soma-las.

Mas, por que isso?

Porque temos aquela identidade antiga de

s e n θ 2 + c o s θ 2 = 1

E colocando ao quadrado, temos grandes chances de utiliza-la.

Show!

Vamos lá!

Colocamos ao quadrado cada equação e, em seguida, somamos:

m 2 2 v f 2 2 c o s θ 2 2 = m 1 v 0 - m 1 v f 1 c o s θ 1 2 = m 1 2 v 0 2 - 2 m 1 2 v 0 v f 1 c o s θ 1 + m 1 2 v f 1 2 c o s θ 1 2

+

m 2 2 v f 2 2 s e n θ 2 2 = m 1 2 v f 1 2 s e n θ 1 2

=

c o s θ 2 2 + s e n θ 2 2 m 2 2 v f 2 2 = c o s θ 1 2 + s e n θ 1 2 m 1 2 v f 1 2 + m 1 2 v 0 2 - 2 m 1 2 v 0 v f 1 c o s θ 1

Show! Agora que somamos, viu a utilidade do quadrado?

Podemos aplicar a identidade e deixar a equação bem mais simples:

s e n θ 2 + c o s θ 2 = 1

m 2 2 v f 2 2 = m 1 2 v f 1 2 + m 1 2 v 0 2 - 2 m 1 2 v 0 v f 1 c o s θ 1

Agora temos uma única incógnita, o c o s θ 1 . Podemos manipular:

c o s θ 1 = m 1 2 v f 1 2 + m 1 2 v 0 2 - m 2 2 v f 2 2 2 m 1 2 v 0 v f 1

Como já temos todos esses valores:

v f 1 = 4   m / s

v f 2 = 2,5   m / s  

m 1 = 2,50   k g

m 2 = 3,60   k g

v 0 = 5   m / s

Podemos substituir:

c o s θ 1 = 175,25 250 = 0,701

θ 1 = 45,50 °

Só falta acharmos θ 2 agora:

Uma boa saída é voltarmos com a equação:

m 2 v f 2 s e n θ 2 = m 1 v f 1 s e n θ 1

Manipulando:

s e n θ 2 = m 1 v f 1 s e n θ 1 m 2 v f 2

Sabemos que s e n 45 ° = 0,71325

Substituindo os valores, chegamos a:

s e n θ 2 = 0,793

θ 2 = 52,46   °

Ufa! Essa questão era realmente cansativa!

Resposta

  1. momento do objeto mais leve não se conversa.
  2. v 0 = 5   m / s

θ 1 = 45,50 ° e θ 2 = 52,46   °

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