Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Colisão

Em um experimento, um projétil de massa m e velocidade v atinge um bloco de massa M suspenso por um fio e inicialmente em repouso. Depois da colisão, o projétil se aloja no bloco e o conjunto atinge uma altura h 1 .

  1. Calcule a altura h 1 .
  2. Calcule a energia dissipada na colisão.
  3. Em outro experimento, uma bola de massa m e velocidade v colide elasticamente com um bloco de massa M suspenso por um fio e inicialmente em repouso. O bloco então atinge uma altura h 2 .

  4. Calcule a razão entre as alturas h 1 e h 2 .

Passo 1

a);

Bom, galera, a ideia aqui é descobrir a velocidade adquirida pelo conjunto bala mais bloco após a colisão, usar a conservação da energia pra descobrir a altura.

Então, pela conservação do momento na colisão:

m v = M + m v 2

v 2 = m v M + m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza? Agora temos que fazer a conservação da energia cinética após a colisão.

Bom, a energia inicial do conjunto era toda cinética. No fim, ela será toda potencial, então:

E p = E c

M + m g h 1 = M + m v 2 2 2

h 1 = v 2 2 2 g

Substituindo o que a gente achou no passo anterior

h 1 = m 2 v 2 M + m 2 . 1 2 g

Passo 3

b):

Aqui é só fazer a diferença entre a energia cinética após a colisão e a energia cinética inicial.

A energia cinética após a colisão é:

E c 2 = M + m v 2 2 2 = M + m 2 . m v M + m 2 = m 2 v 2 2 M + m

E a energia cinética antes da colisão é:

E c 1 = m v 2 2

Então, fazendo a diferença:

E d i s s i p a d a = E c 2 - E c 1 = m 2 v 2 2 M + m - m v 2 2 = v 2 m 2 2 M + m - m 2

E d i s s i p a d a = - v 2 M m 2 M + m

Passo 4

c):

Agora a colisão é elástica, então a conservação do momento muda.

Agora fica assim:

m v = M v 2 + m v 3

A velocidade da bola após a colisão é

v 3 = v - M m v 2

Além disso, como a energia cinética se conserva:

m v 2 2 = M v 2 2 2 + m v 3 2 2

m v 2 = M v 2 2 + m v 3 2

Substituindo v 3 nessa equação, temos

m v 2 = M v 2 2 + m v - M m v 2 2 = M v 2 2 + m v 2 - 2 M m v v 2 + M 2 m 2 v 2 2

m v 2 = M v 2 2 + m v 2 - 2 M v v 2 + M 2 m v 2 2

Dando uma arrumada e agrupando os termos

0 = M v 2 2 1 + M m - 2 M v v 2

Dá pra botar v 2 em evidência aqui

0 = v 2 M v 2 1 + M m - 2 M v

Pra essa equação ser verdade ou v 2 = 0 ou o cara dentro do colchetes. Como sabemos que o bloco grande se move, temos então

M v 2 1 + M m - 2 M v = 0

v 2 = 2 v 1 + M m

v 2 = 2 m v M + m

Passo 5

Agora que temos a velocidade do bloco após a colisão podemos achar até que altura ele chega usando conservação da energia mecânica

E p = E c

M g h 2 = 1 2 M v 2 2

h 2 = 1 2 v 2 2 g  

h 2 = 1 2 g 4 m 2 v 2 M + m 2 = 2 m 2 v 2 g M + m 2

Passo 6

Agora podemos calcular a razão entre as alturas

h 1 h 2 = m 2 v 2 M + m 2 . 1 2 g 2 m 2 v 2 g M + m 2 = 1 2 2

h 1 h 2 = 1 4

Resposta

a):

h 1 = m 2 v 2 M + m 2 . 1 2 g

b):

E d i s s i p a d a = - v 2 M m 2 M + m

c):

h 1 h 2 = 1 4

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