Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Dois corpos sofrem uma colisão elástica unidimensional ao longo de um eixo x . A figura mostra a posição dos corpos e do centro de massa em função do tempo quando estes entram na região x > 0 . Pode-se dizer que:

(a) A massa do corpo que estava se movendo mais depressa antes da colisão é igual à do outro corpo.

(b) As retas 4 e 5 representam os movimentos dos corpos depois da colisão.

(c) Os dois corpos estavam se movendo antes da colisão.

(d) A reta 1 representa o movimento do centro de massa antes da colisão.

(e) A massa do corpo que estava se movendo mais depressa antes da colisão é maior que a do outro corpo.

Passo 1

Primeiro vamos entender esse gráfico.

Temos um gráfico da posição x pelo tempo t e nele estão representadas as posições da partícula 1 , da partícula 2 e do Centro de Massa C M .

A posição do Centro de Massa é nada mais do que uma média entre as posições das duas partículas, ou seja, o CM sempre vai estar sempre entre as duas partículas...

Além disso, quando temos uma reta com uma certa inclinação nesse gráfico, isso significa que a posição está variando e portanto a partícula anda com uma certa velocidade, enquanto uma reta horizontal indica uma velocidade nula.

Se considerarmos um instante t 1 antes da colisão:

Podemos ver que a reta 2 representa a posição do CM, pois é a posição que está entre as duas partículas:

Além disso, como a reta da Partícula 2 é horizontal, sua posição é constante, ou seja, ela está parada antes da colisão:

v 0 2 = 0

Enquanto a Partícula 1 anda com uma certa velocidade v 0 1 .

Depois disso, acontece a colisão nesse ponto aqui:

Após a colisão, há uma mudança nas velocidades de cada partícula...

Olhando para o instante t 2 , após a colisão:

A Partícula 1 passa a ficar parada, já que a reta da sua posição é horizontal.

v 1 = 0

Enquanto a Partícula 2 passa a andar com uma velocidade v 2 , já que a reta da sua posição agora esta inclinada.

Apenas com essa análise, já eliminamos as letras (b), (c) e (d).

Agora, vamos tentar aplicar as equações de uma colisão para esse problema e tirar alguma conclusão sobre as massas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o sistema é isolado, temos a conservação do momento linear:

p 0 = p

Inicialmente, apenas a partícula 1 se move, então o momento linear inicial é:

p 0 = m 1 v 0 1

Já após a colisão, apenas a partícula 2 se move, então o momento linear final é:

p = m 2 v 2

Aplicando na conservação, ficamos com:

m 1 v 0 1 = m 2 v 2

Passo 3

A outra relação que podemos tirar é que a colisão foi elástica.

Isso significa que a energia cinética do sistema se conserva:

K 0 = K

Considerando novamento apenas a partícula 1 se movimentando no início e apenas a partícula 2 se movimentando após, temos:

m 1 v 0 1 2 2 = m 2 v 2 2 2

Passo 4

Então, temos um sistema assim:

m 1 v 0 1 = m 2 v 2 m 1 v 0 1 2 2 = m 2 v 2 2 2

Da primeira equação, podemos isolar o v 0 1 :

m 1 v 0 1 = m 2 v 2

v 0 1 = m 2 m 1 v 2

Substituindo isso na segunda, ficamos com:

m 1 m 2 m 1 v 2 2 2 = m 2 v 2 2 2

m 1 m 2 m 1 2 v 2 2 = m 2 v 2 2

Cortando v 2 2 dos dois lados:

m 1 m 2 2 m 1 2 = m 2

m 2 m 1 = 1

m 2 = m 1

Ou seja, considerando que o momento linear se conservou, a única maneira de a energia cinética também se conservar é caso as duas massas sejam iguais.

Assim, ficamos com a letra (a).

Resposta

Letra (a)

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