Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Um próton sofre uma colisão elástica frontal com uma partícula desconhecida que está em repouso. O próton recua com 4 / 9 da sua energia cinética inicial. A razão entre as massa da partícula desconhecida e a massa do próton m x / m p é:

(A) m x / m p = 5 ;

(b) m x / m p = 4 / 9 ;

(C) m x / m p = 2 / 3 ;

(D) m x / m p = 9 / 4 ;

(E) m x / m p = 25 / 3 ;

Passo 1

Inicialmente, o próton tem uma energia cinética que vamos chamar de K 0 .

Essa energia cinética está associada com uma velocidade v 0 . Porém, após a colisão, o protón tem apenas 4 / 9 de sua energia cinética inicial K 0 .

Como a colisão foi frontal, podemos dizer que todas as velocidades estão somente em uma direção. Além disso, a colisão foi elástica, então a energia cinética do sistema se conserva:

K 0 = K

Sendo que após a colisão, tanto o próton quanto a outra partícula terão uma quantidade de energia cinética:

K 0 = K p + K x

Vamos utilizar também a conservação do momento linear:

p 0 = p

p 0 = p p + p x

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Passo 2

Sobre as energias cinéticas, temos que após a colisão o próton tem apenas 4 / 9 da energia inicial:

K p = 4 9 K 0

Podemos substituir na equação da conservação da energia cinética:

K 0 = 4 9 K 0 + K x

K x = 1 - 4 9 K 0

K x = 5 9 K 0

Passo 3

Beleza, agora podemos relacionar as massas a partir dessa expressão de energia cinética:

m x v x 2 2 = 5 9 m p v 0 2 2

m x m p = 5 9 v 0 v x 2

Então, para achar a razão entre as massas m x / m p , devemos usar a relação entre os momentos lineares.

Passo 4

Conservando o momento linear do sistemas, temos:

p 0 = p p + p x

Como o próton recua após a colisão, ele caminha no sentido oposto que sua velocidade inicial, logo seu momento linear terá sinal negativo:

m p v 0 = - m p v p + m x v x

Passo 5

Okay, isso nos dá o seguinte sistema:

m x m p = 5 9 v 0 v x 2 m p v 0 = - m p v p + m x v x

Uma maneira de resolvê-lo é isolar o v x da segunda equação e substituir na primeira:

m x v x = m p v 0 + v p

v x = m p m x v 0 + v p

Substituindo, temos:

m x m p = 5 9 v 0 m p m x v 0 + v p 2

Porém, ainda temos duas incógnitas ( v 0   e v p ) .

Passo 6

Vamos achar mais uma relação entre essas velocidades, usando a expressão que já usamos antes:

K p = 4 9 K 0

m p v p 2 2 = 4 9 m p v 0 2 2  

v p 2 = 4 9 v 0 2

v p = 2 3 v 0

Passo 7

Agora, podemos substituir na nossa expressão e achar a razão m x / m p :

m x m p = 5 9 v 0 m p m x v 0 + 2 3 v 0 2

m x m p = 5 9 v 0 m p m x 5 3 v 0 2

m x m p = 5 9 v 0 × m x m p 3 5 v 0 2

m x m p = 5 9 3 m x 5 m p 2

m x m p = 5 9 9 m x 2 25 m p 2

Simplificando, temos:

1 = m x 5 m p

Então, achamos que:

m x m p = 5

Resposta

Letra (A)

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