Q 14 - Em um certo referencial inercial, uma partícula, de massa m 1 = 1,2   k g movimentando-se com velocidade v → = 3,0 i ^   ( m / s ) sobre uma superfície horizontal, colide elasticamente com uma partícula de massa m 2 = 2,5   k g que está parada. Considerando que o movimento das partículas após a colisão continua sendo ao longo do eixo x , o módulo do vetor velocidade (em m / s ) da partícula de massa m 1 imediatamente depois da colisão, no referencial centro de massa, é:

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Temos um problema de colisão entre partículas, como não temos força externa resultante atuando o momento linear do sistema se conserva. Então:

p → i = p → f

Como a situação do enunciado ocorrer toda no eixo x , não precisamos nos preocupar com a notação vetorial, assim:

p i = p f

Como a colisão foi elástica temos a conservação da energia cinética, assim temos que:

Δ K = 0

⇒ K f - K i = 0

Vamos então abrir essas equações e tentar isolar a velocidade final de m 1 , tendo essa velocidade vamos calcular a velocidade do centro de massa para ver o valor da velocidade final de m 1 nesse referencial.

Passo 2

Da conservação de momento temos o seguinte:

p i = p f

⇒ m 1 v i 1 = m 1 v f 1 + m 2 v f 2

⇒ m 1 v i 1 - v f 1 = m 2 v f 2

⇒ m 1 m 2 v i 1 - v f 1 = v f 2

Passo 3

Agora vamos ver como fica a conservação de energia cinética do sistema. Temos:

K f - K i = 0

⇒ 1 2 m 1 v f 1 2 + 1 2 m 2 v f 2 2 - 1 2 m 1 v i 1 2 = 0

⇒ m 1 v i 1 2 - v f 1 2 = m 2 v f 2 2

⇒ m 1 m 2 v i 1 2 - v f 1 2 = v f 2 2

Passo 4

Substituindo o que encontramos na conservação do momento na conservação de energia, temos:

m 1 m 2 v i 1 2 - v f 1 2 = m 1 v i 1 - v f 1 m 2 2

⇒ m 1 v i 1 2 - v f 1 2 = m 1 2 v i 1 - v f 1 2 m 2

⇒ v i 1 + v f 1 v i 1 - v f 1 = m 1 v i 1 - v f 1 2 m 2

⇒ v i 1 + v f 1 = m 1 ( v i 1 - v f 1 ) m 2

⇒ m 2 v i 1 + m 2 v f 1 = m 1 v i 1 - m 1 v f 1

⇒ v f 1 m 1 + m 2 = m 1 - m 2 v i 1

⇒ v f 1 = m 1 - m 2 m 1 + m 2 v i 1

Sabendo disso temos que:

v f 2 = 2 m 1 m 1 + m 2 v i 1

A velocidade v f 1 é a velocidade de m 1 depois da colisão, agora temos que achar a velocidade do centro de massa e ver o valor de v f 1 nesse referencial.

Passo 5

A velocidade do centro de massa depois da colisão é dada por:

v C M = m 1 v f 1 + m 2 v f 2 m 1 + m 2

Substituindo as expressões de v f 1 e v f 2 que conhecemos, temos que:

v C M = m 1 m 1 - m 2 m 1 + m 2 v i 1 + m 2 2 m 1 m 1 + m 2 v i 1 m 1 + m 2

= m 1 v i 1 ( m 1 - m 2 + 2 m 2 ) m 1 + m 2 2

= m 1 v i 1 ( m 1 + m 2 ) m 1 + m 2 2

Logo temos que:

v C M = m 1 m 1 + m 2 v i 1

Passo 6

Sabendo que a velocidade do centro de massa, a velocidade final de m 1 nesse referencial é dada por:

v f 1 C M = v f 1 - v C M

Então temos que:

v f 1 C M = m 1 - m 2 m 1 + m 2 v i 1 - m 1 m 1 + m 2 v i 1

= - m 2 m 1 + m 2 v i 1

Mas como o enunciado pede o módulo dessa velocidade, temos que:

v f 1 C M = m 2 m 1 + m 2 v i 1

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

v f 1 C M = 2,5 1,2 + 2,5 ( 3 )

= 7,5 3,7

Assim temos que:

v f 1 C M = 2,03   m / s

Prontinho, terminamos essa com sucesso!

Resposta

v f 1 C M = 2,03   m / s

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