Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Duas bolas A e B , de massas m A e m B diferentes, colidem elasticamente. Inicialmente a bola A tem velocidade v → = v 0 i ^ , onde v 0 é uma constante positiva, e a bola B está em repouso. Após a colisão a bola A passa a se mover com velocidade v 0 / 2 j ^ , na direção perpendicular à direção do movimento inicial. Considere o plano da colisão como sendo horizontal e despreze as forças de atrito.

(a) Faça um esboço dos vetores velocidades das bolas A e B após a colisão, indicando o sistema de coordenadas e os ângulos envolvidos.

(b) Escreva o sistema de equações que a partir do qual é possível determinar a direção e a magnitude da velocidade v → B da bola B após a colisão. Justifique cada uma destas equações.

(c) Determine o ângulo θ B entre v → B e a direção i ^ .

(d) Determine o vetor v → B e seu módulo em função de v 0 .

Passo 1

Inicialmente a bola A anda na horizontal e a bola B está parada:

Na letra (a), queremos o esboço após a colisão.

Após a colisão, a bola A sai com uma velocidade na vertical para cima ( j ^ ).

Vamos ver mais a frente que o momento linear se conserva e por isso a bola B deve ter uma componente de velocidade na vertical para baixo (contrapondo v → A ) e também uma componente de velocidade na horizontal (mantendo o momento linear inicial):

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra (b), queremos as equações que precisamos para descobrir v → B .

Vamos trabalhar com duas ideias!

A primeira delas é o seguinte, como o plano é horizontal (força peso e normal se anulam) e não há força de atrito, temos que o sistema está livre da ação de forças externas.

Assim, podemos dizer que o momento linear do sistema se conserva:

p → 0 = p →

Podemos abrir esses vetores nas componentes em x e em y e escrever que os momentos lineares se conservam nas duas direções:

p x 0 = p x p y 0 = p y

Já a segunda ideia vem de que a colisão é elástica.

Em uma colisão é elástica, a energia cinética do sistema se conserva, portanto:

K 0 = K

Passo 3

Agora vamos escrever cada uma daquelas equações.

Vamos começar com o momento linear.

Na horizontal:

Inicialmente, temos:

Como o módulo da velocidade de A é v 0 , temos:

p x 0 = m A v 0

Para escrever os momentos em cada direção, vamos decompor a velocidade de B após a colisão:

Já o momento linear final na horizontal será:

p x = m B v B c o s θ

Conservando o momento linear na horizontal, temos:

m A v 0 = m B v B c o s θ

Na vertical:

Inicialmente, o momento linear em y é nulo:

p y 0 = 0

Já após a colisão, temos:

p y = m A v A - m B v B s e n θ

p y = m A v 0 2 - m B v B s e n θ

Conservando o momento linear na vertical, temos:

0 = m A v 0 2 - m B v B s e n θ

m A v 0 2 = m B v B s e n θ

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação da energia cinética:

K 0 = K

A energia cinética leva em consideração apenas o módulo da velocidade e não a sua direção.

Inicialmente, temos apenas a energia cinética da bola A :

K 0 = m A v 0 2 2

Já no final, temos tanto a energia cinética da bola A quanto a da B :

K = m A v 0 2 2 2 + m B v B 2 2

Conservando a energia cinética, ficamos com:

m A v 0 2 2 = m A v 0 2 2 2 + m B v B 2 2

m A v 0 2 2 = m A 2 v 0 2 4 + m B v B 2 2

m A v 0 2 1 2 - 1 8 = m B v B 2 2

m A v 0 2 3 8 = m B v B 2 2

Pronto, conseguimos nossa terceira equação e ficamos com um sistema assim:

m A v 0 = m B v B c o s θ m A v 0 2 = m B v B s e n θ m A v 0 2 3 8 = m B v B 2 2

Passo 5

Na letra (c), queremos achar o ângulo θ .

Para isso, vamos trabalhar com o nosso sisteminha.

m A v 0 = m B v B c o s θ m A v 0 2 = m B v B s e n θ m A v 0 2 3 8 = m B v B 2 2

Como, inicialmente só estamos interessados no ângulo θ . Um bom macete para relacionar uma expressão com seno e a outra com cosseno é dividindo uma pela outra.

Então, dividindo a segunda 2 equação pela primeira 1 :

m A v 0 2 m A v 0 = m B v B s e n θ m B v B c o s θ

Podemos cortar todas as massas e velocidades:

1 2 = s e n θ c o s θ

t a n θ = 1 2

Ou seja, θ será o arco cuja tangente vale 1 / 2 :

a r c t a n θ = 1 2

Passo 6

Na letra (d), queremos tanto o vetor velocidade da bola B v → B , quanto seu módulo.

Voltando o nosso sisteminha:

m A v 0 = m B v B c o s θ m A v 0 2 = m B v B s e n θ m A v 0 2 3 8 = m B v B 2 2

Como queremos achar v B , vamos usar qualquer outro parâmetro menos ele para substituir de uma equação para outra.

Podemos por exemplo isolar m A na primeira 1 e substituir na terceira 3 :

m A = m B v B c o s θ v 0

Substituindo isso na terceira equação, temos:

m A v 0 2 3 8 = m B v B 2 2

m B v B c o s θ v 0 v 0 2 3 8 = m B v B 2 2

Cortando m B :

v B c o s θ v 0 v 0 2 3 8 = v B 2 2

Cortando um dos termos de v B e v 0 :

c o s θ v 0 3 8 = v B 2

v B = 3 4 v 0 c o s θ

Porém, só queremos em função de v 0 . Então, temos que dar um jeito de tirar esse c o s θ daí.

Vamos tentar usar a relação que achamos para θ :

a r c t a n θ = 1 2

Passo 7

Para encontrar esse c o s θ , vamos usar a relação fundamental:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Dividindo tudo por cos 2 ⁡ θ , conseguimos relacionar a tangente com o cosseno:

s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ

tan 2 ⁡ θ + 1 = 1 cos 2 ⁡ θ

c o s θ = 1 tan 2 ⁡ θ + 1

Substituindo o valor que achamos para tangente, temos:

c o s θ = 1 1 2 2 + 1

c o s θ = 1 1 4 + 1

c o s θ = 1 5 4

c o s θ = 1 5 2

c o s θ = 2 5

Vamos aproveitar essa trigonometria para achar o seno também, pois vamos precisar disso na hora de escrever o vetor v → B :

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

s e n 2 θ + 2 5 2 = 1

s e n 2 θ = 1 - 4 5

s e n θ = 1 5 = 1 5

Passo 8

Substituindo o valor de cosseno na expressão de v B , ficamos com:

v B = 3 4 v 0 2 5

v B = 3 2 5 v 0

Achamos o módulo, agora só falta escrever o vetor v → B :

v → B = v B c o s θ   i ^ - v B s e n θ   j ^

v → B = 3 2 5 v 0 2 5   i ^ - 3 2 5 v 0 1 5   j ^

v → B = 3 5 v 0   i ^ - 3 10 v 0   j ^

Resposta

(a)

(b) m A v 0 = m B v B c o s θ m A v 0 2 = m B v B s e n θ m A v 0 2 3 8 = m B v B 2 2

(c) a r c t a n θ = 1 2

(d) v B = 3 2 5 v 0

v → B = 3 5 v 0   i ^ - 3 10 v 0   j ^

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