Q 3 - Considere o dispositivo da figura, chamado de pêndulo de Newton. Todas as colisões entre as bolas no dispositivo são elásticas.

( a ) Se uma bola em um extremo é puxada para trás e solta, como mostrado na figura, haverá uma quebra da conservação de momento se duas bolas no outro extremo se moverem com metade da velocidade da primeira bola?

( b ) O resultado do evento em ( a ) será uma quebra da conservação de energia?

( c ) Mostre que o único resultado consistente com a conservação de momento e a conservação de energia é que se n bolas forem puxadas para trás e soltas, n bolas deverão subir do outro lado.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para esse problema temos que usar apenas a conservação de energia mecânica e a conservação de momento, já que temos colisões elásticas.

Vamos ver o que cada item pede e aplicar essas leis de conservação.

Passo 2

O item ( a ) quer saber se o momento se conserva para o caso de uma bola sendo puxada e depois duas bolas subirem com metade da velocidade da bola que foi levantada. Então:

m v i = m v i 2 + m v i 2

⇒ m v i = m v i

Logo não temos quebra de conservação de momento.

Passo 3

O item ( b ) quer saber se na mesma situação anterior temos quebra de energia.

Para esse caso vamos considerar o instante inicial sendo imediatamente antes da bola que foi levanta colidir com as outras e o instante final como sendo imediatamente no começo da subida das duas bolas.

Mas para que isso? Isso é porque só teremos energia cinética, assim a energia inicial é dada por:

K i = 1 2 m v i 2

E a energia final é:

K f = 1 2 m v i 2 2 + 1 2 m v i 2 2

= m v i 2 8 + m v i 2 8

Então

K f = m v i 2 4

E essa energia é diferente da energia inicial, logo houve quebra na conservação!

Passo 4

Agora vamos mexer com o item ( c ) .

Para mostrar o que ele pede, vamos fazer o seguinte, vamos supor uma certa quantidade bolas n 1 foi levantada a uma altura h 1 e com isso um certo número de bolas n 2 sobem a uma altura h 2 depois da colisão.

Então temos que mostrar que n 1 = n 2 .

Então a energia inicial a uma altura h 1 , tem que ser igual a energia potencial nessa altura, assim temos:

E i = n 1 m g h 1

Sendo que essa energia é igual a energia cinética imediatamente antes da colisão, assim:

1 2 n 1 m v 1 2 = n 1 m g h 1

⇒ v 1 = 2 g h 1

E a energia final vai ser igual a energia potencial das bolas que subiram a uma altura h 2 , assim:

E f = n 2 m g h 2

Que também é igual a energia cinética das bolas que sobem imediatamente depois da colisão, assim:

1 2 n 2 m v 2 2 = n 2 m g h 2

⇒ v 2 = 2 g h 2

Agora analisando o momento inicial imediatamente antes da colisão, temos:

p i = n 1 m v 1

⇒ p i = n 1 m 2 g h 1

E o momento final das bolas imediatamente depois da colisão é:

p f = n 2 m v 2

⇒ p f = n 2 m 2 g h 2

Passo 5

Como temos colisões elásticas acontecendo, logo deve ocorrer tanto a conservação de energia, quanto a conservação do momento, assim:

n 1 m g h 1 = n 2 m g h 2

⇒ n 1 h 1 = n 2 h 2

⇒ h 1 = n 2 n 1 h 2

n 1 m 2 g h 1 = n 2 m 2 g h 2

⇒ n 1 h 1 = n 2 h 2

Pegando o que encontramos na primeira equação e substituindo na segunda, temos:

n 1 n 2 n 1 h 2 = n 2 h 2

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

n 1 2 n 2 n 1 h 2 = n 2 2 h 2

⇒ n 1 = n 2

Logo o mesmo número de bolas que são puxadas vai ser o número de bolas que irão subir.

Resposta

( a )

Não quebra a conservação de momento.

( b )

Quebra a conservação de energia.

( c )

Demonstrado acima.

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