Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Num jogo de bilhar, um jogador deseja colocar a bola roxa/escura na caçapa, como mostrado na figura. Se o ângulo da caçapa é 35 ° , em que ângulo a bola branca é defletida? Considere que a colisão é elástica e despreze o atrito e o movimento de rotação das bolas, e considere bolas de massas iguais.

(A) 45 ° .

(B) 50 ° .

(C) 5 5 ° .

(D) 60 ° .

(E) 90 ° .

Passo 1

Temos uma colisão bidimensional.

O primeiro ponto importante é que estamos desprezando o atrito e a rotação das bolas. Isso somado ao fato de que as forças externas (peso e normal) se anulam permite que a gente trabalhe esse problema como uma colisão isolada, como fazemos normalmente.

Assim, podemos dizer que o momento linear do sistema se conserva:

p → 0 = p →

O segundo ponto importante é que temos uma colisão elástica, isso significa que além do momento linear se conservar, a energia cinética se conserva também:

K 0 = K

Agora, vamos ao problema...

Queremos a direção (ângulo) da velocidade final da bola branca v f 2 . Então, vamos escrever as equações de momento linear e de energia cinética para determinar as componentes dessa velocidade final.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com o momento linear.

O momento linear do sistema p → é um vetor, porém, podemos analisar cada eixo separadamente, logo temos:

p x 0 = p x p y 0 = p y

Vamos decompor as velocidades finais nas componentes horizontal e vertical:

No eixo x , temos:

p x 0 = p x

m v i = m v f 1 c o s 35 ° + m v f 2 c o s θ

v i = v f 1 c o s 35 ° + v f 2 c o s θ

Enquanto no eixo y , temos:

p y 0 = p y

0 = m v f 1 s e n 35 ° - m v f 2 s e n θ

v f 2 s e n θ = v f 1 s e n 35 °

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação das energias cinéticas:

K 0 = K

m v i 2 2 = m v f 1 2 2 + m v f 2 2 2

Cortando as massas e os “2”:

v i 2 = v f 1 2 + v f 2 2

Passo 4

Assim, ficamos com o seguinte sisteminha:

v i = v f 1 c o s 35 ° + v f 2 c o s θ v f 2 s e n θ = v f 1 s e n 35 ° v i 2 = v f 1 2 + v f 2 2

Esse sistema é um pouco chatinho de resolver, mas tem uma coisa que ajuda muito nesse tipo específico de colisão.

Bom, as duas bolas tem a mesma massa m e apenas uma delas se movia antes da colisão bidimensional, por isso a equação das energias cinéticas ficou com essa cara:

v i 2 = v f 1 2 + v f 2 2

Hhaan? Que cara?

Cara de Pitágoras...

WTF?!?

Podemos pensar nessa equação de velocidades como os lados de um triângulo retângulo. Sendo o v i a hipotenusa e os catetos v f 1 e v f 2 .

Então, os vetores velocidade após a colisão teriam um ângulo de 90 ° entre eles:

Ou sejaaaaaa...

θ + 35 ° = 90 °

θ = 55 °

Sempre que tivermos uma colisão exatamente como essa (mesma massa e corpo 2 parado), os dois corpos saem da colisão fazendo um ângulo de 90 ° entre si.

Ahhh, a gente podia ter feito isso direto, então?

Até poderia hahah, mas é bom fazer esse passo a passo para evitar confusão.

Então, ficamos com a alternativa (C).

Resposta

Letra (C)

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