Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Colisão

As duas massas à direita, m 2 e m 3 conforme mostra figura abaixo, estão ligeiramente separadas e inicialmente em repouso; a massa da esquerda m 1 incide sobre as outras duas com velocidade v 0 . Supondo que as colisões sejam diretas e elásticas:

(a) Achar a velocidade que a segunda massa m 2 adquire. Considerar o choque elástico e frontal.

(b) Achar a velocidade que a última massa m 3 adquire.

(c) Mantendo m 1 e m 3 constantes, calcule o valor de m 2 para que a velocidade do terceiro corpo seja máxima.

Passo 1

(a)

No caso da colisão elástica temos a conservação do momento linear e da energia cinética. Assim:

m 1 V 0 = m 1 V 1 + m 2 V 2   ( 1 )

1 2 m 1 V 0 2 = 1 2 m 1 V 1 2 + 1 2 m 2 V 2 2   ( 2 )

Da equação (1) temos:

V 1 = V 0 - m 2 m 1 V 2

Substituindo em (2):

m 2 V 2 2 = m 1 V 0 2   - m 1 V 0 - m 2 m 1 V 2 2

m 2 V 2 2 = m 1 V 0 2 - m 1 V 0 2 + 2 V 0 V 2 m 2 - m 2 2 V 2 2 m 1

V 2 2 - 2 V 0 V 2 + m 2 V 2 2 m 1 = 0

1 + m 2 m 1 V 2 = 2 V 0

V 2 = 2 m 1 V 0 m 1 + m 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Analogamente, a bola 3 irá sofrer uma colisão elástica com a segunda e chegaremos na mesma equação que o item anterior:

V 3 = 2 m 2 V 2 m 2 + m 3

Substituindo o V 2 :

V 3 = 2 m 2 m 2 + m 3 2 m 1 V 0 m 1 + m 2

V 3   = 4 m 1 m 2 V 0 m 1 + m 2 m 2 + m 3

Passo 3

(c)

Alterando o valor de m 2 , o valor de V 3 vai sendo alterado também, pois eles são dependentes pela equação que encontramos no item anterior. Como m 1 e m 3 são constantes, teremos uma função V 3 m 2 , cujo o máximo pode ser encontrado se encontrarmos o ponto onde a derivada é nula. Então:

d V 3 d m 2 = 0

d V 3 d m 2 = d d m 2 4 m 1 V 0 m 2 m 1 m 2 + m 1 m 3 + m 2 2 + m 2 m 3 = 0

4 m 1 V 0 d d m 2 1 m 1 + m 1 m 3 m 2 + m 2 + m 3 = 0

1 - m 1 m 3 m 2 2 = 0

m 2 = m 1 m 3

Resposta

(a)

V 2 = 2 m 1 V 0 m 1 + m 2

(b)

V 3   = 4 m 1 m 2 V 0 m 1 + m 2 m 2 + m 3

(c)

m 2 = m 1 m 3

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