A partícula 1 , de massa m 1 = 0,3   k g , desliza para a direita ao longo do eixo x em um piso sem atrito com uma velocidade escalar de 2   m / s . Quando chega ao ponto x = 0 , no instante t = 0 , ela sofre uma colisão elástica unidimensional com a partícula 2 de massa m 2 = 0,4   k g , que estava inicialmente em repouso, conforme a figura ao lado.

a ) Quais as velocidades finais das partículas 1 e 2 após essa colisão?

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo?

Temos aqui uma questão de colisão elástica unidimensional. Basicamente, temos a part��cula 1 se movendo para a direita, com uma massa m 1 = 0,3   k g e velocidade escalar de 2   m / s . Em x = 0 , ela colide com uma partícula 2 , de massa m 2 = 0,4   k g , que estava parada.

Nesse item precisamos determinar as velocidades de 1 e 2 após a colisão.

Alguma ideia de como podemos atacar o nosso problema?

Bom, a ideia principal vem de duas equações:

1 ) Conservação da quantidade de movimento antes e depois da colisão.

Assim, podemos escrever:

m 1 v → i , 1 = m 1 v → f , 1 + m 2 v → f , 2

2 ) Conservação da energia mecânica antes e depois da colisão (pois trata-se de uma colisão elástica).

E m e c , i = E m e c , f

Usando essas duas equações teremos como variável apenas v → f , 1 e v → f , 2 . Aí é só manipular as equações e matar a questão 😊

Vem comigo!

Passo 2

Bom, vamos começar escrevendo as duas equações mencionadas no passo 1 . Da conservação da quantidade de movimento, temos:

m 1 v → i , 1 = m 1 v → f , 1 + m 2 v → f , 2

Para tirar o caráter vetorial dessas variáveis vamos considerar que velocidades positivas são as que apontam para a direita, e negativa são as que apontam para a esquerda.

Vamos supor também que v → f , 1 e v → f , 2 apontam para a direita. Assim, substituindo também os dados do enunciado nessa equação, temos:

0,3 ⋅ 2 = 0,3 v f , 1 + 0,4 v f , 2

∴ 0,6 = 0,3 v f , 1 + 0,4 v f , 2  

Da conservação da energia mecânica, podemos escrever que:

m 1 v i , 1 2 2 = m 1 v f , 1 2 2 + m 2 v f , 2 2 2

Substituindo os dados do enunciado, temos:

0,3 ⋅ 4 = 0,3 v f , 1 2 + 0,4 v f , 2 2

∴ 1,2 = 0,3 v f , 1 2 + 0,4 v f , 2 2  

Muito bom!

Passo 3

Agora que já escrevemos as duas equações, vamos manipulá-las para encontrar as variáveis.

De:

0,6 = 0,3 v f , 1 + 0,4 v f , 2

∴ v f , 2 = 0,6 - 0,3 v f , 1 0,4

Substituindo na segunda equação:

1,2 = 0,3 v f , 1 2 + 0,4 v f , 2 2

∴ 1,2 = 0,3 v f , 1 2 + 0,4 ⋅ 0,6 - 0,3 v f , 1 0,4 2

⇒ 1,2 = 0,3 v f , 1 2 + 0,36 - 2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,3 v f , 1 + 0,09 v f , 1 2 0,4

Multiplicando por 0,4 em ambos os lados:

0,48 = 0,12 v f , 1 2 + 0,36 - 0,36 v f , 1 + 0,09 v f , 1 2

0,48 = 0,21 v f , 1 2 - 0,36 v f , 1 + 0,36

∴ 0,21 v f , 1 2 - 0,36 v f , 1 - 0,12 = 0

Logo, por bháskara:

v f , 1 = 0,36 ± 0,36 2 - 4 ⋅ 0,21 ⋅ - 0,12 2 ⋅ 0,21

∴ v f , 1 = 2   m / s - 0,29   m / s

A primeira solução não faz sentido fisicamente, pois teríamos v f , 2 < 0 . Mas, sabemos que não é possível a partícula 2 sofrer a colisão e voltar para a esquerda. Portanto, ficamos com a segunda solução:

v f , 1 = - 0,29   m / s

Isso significa que após a colisão a partícula 1 volta para a esquerda. Teremos também:

v f , 2 = 0,6 - 0,3 v f , 1 0,4

∴ v f , 2 = 0,6 - 0,3 ⋅ - 0,29 0,4

= 1,71 m / s

Portanto, temos:

v f , 1 = - 0,29 m s   ← v f , 2 = 1,71 m s   →

Prontinho! Matamos mais uma questão 😊

Até a próxima pessoal!

Resposta

v f , 1 = - 0,29 m s   ← v f , 2 = 1,71 m s   →

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