As três bolas da figura são idênticas. As bolas 2 e 3 estão se tocando e alinhadas perpendicularmente à trajetória da bola 1. A velocidade da bola 1 tem módulo v 0   =   10 m / s e está dirigida para o ponto de contato das bolas 2 e 3. Após a colisão, quais são

(a) o módulo e

(b) a orientação da velocidade da bola 2,

(c) o módulo e

(d) a orientação da velocidade da bola 3 e

(e) o módulo e

(f) a orientação da velocidade da bola 1?

(Sugestão: sem atrito, cada impulso está dirigido ao longo da reta que liga os centros das bolas envolvidas na colisão e é perpendicular às superfícies que se tocam.)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou fazer passo a passo contigo!

O problema nos diz que uma bolinha de bilhar bate em outras duas conforme mostra a figura. Ele nos dá a velocidade inicial da bolinha 1 e nos diz que essa bolinha está dirigida para o centro das outras duas.

Então, que tal dar uma olhada na figura que ilustra o problema:

A bola incidente exerce um impulso de mesmo módulo sobre as outras duas bolas, ao longo da reta que liga o centro da bola incidente ao centro da bola que sofre o choque.

As bolas que sofrem o choque se afastam ao longo dessas retas, enquanto a bola incidente continua a se mover ao longo do eixo x . Analisando a figura, observamos que os ângulos θ assinalados na figura valem 30 ° (já que temos um triângulo equilátero quando ligamos os centros das bolas, aí o ângulo interno é 60 ° e assim θ = 30 ° )

O momento linear total é conservado. Então a ideia aqui é equacionar as componentes do momento linear total em x e em y, e igualar o momento inicial com o final. E usar também a conservação de energia!

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Como falei ali no passo anterior, a componente x do momento total do sistema de três bolas é conservada.

O momento inicial é apenas m v 0 , já que as outras duas bolas estão em repouso. Depois da colisão elas se movem ao longo das direções indicadas aqui:

Então as componentes horizontais dos momentos das bolas 2 e 3 são iguais e valem m v c o s θ . Já a bola 1 segue na direção horizontal, então seu momento final é m V .

O momento total deve ser igual ao inicial, assim temos que:

m v 0 = m V + 2 m v cos ⁡ θ

Beleza? Vamos guardar essa equação!

Agora vamos olhar para a energia cinética!

Passo 3

Bom pessoal, como a energia cinética total é conservada, temos que:

E a n t e s   d a   c o l i s ã o = E d e p o i s   d a   c o l i s ã o

m v 0 2 2 = m V 2 2 + 2 m v 2 2

Tranquilo?

Temos duas equações e duas incógnitas (lembra que v 0 foi dado)! Então a gora partiu resolver esse sistema!

Passo 4

Letra (a): Agora vamos juntar tudo isso!

A equação que pedi para você guardar é essa aqui

m v 0 = m V + 2 m v cos ⁡ θ ∴ V = v 0 - 2 v c o s θ

E elevando ao quadrado temos o seguinte:

V 2 = v 0 2 - 4 v 0 v cos ⁡ θ + 4 v 2 cos 2 ⁡ θ

Certo?

Agora vamos resgatar a equação que envolve as velocidades que achamos a partir da conservação de energia cinética:

m v 0 2 2 = m V 2 2 + 2 m v 2 2

Dividindo tudo por m / 2 :

v 0 2 = V 2 + 2 v 2

Substituindo V na segunda equação e explicitando v , obtemos

v 0 2 = v 0 2 - 4 v 0 v cos ⁡ θ + 4 v 2 cos 2 ⁡ θ + 2 v 2

Agora é só álgebra:

0 = - 4 v 0 v c o s θ + 4 v 2 cos 2 ⁡ θ + 2 v 2

Dividindo tudo por v e isolando ele do lado esquerdo:

v 4 cos 2 ⁡ θ + 2 = 4 v 0 c o s θ

Por fim isolando v e substituindo os valores v 0 = 10 , θ = 30 ° :

v = 2 v 0 cos ⁡ θ 1 + 2 cos 2 ⁡ θ = 2 10 cos ⁡ 30 ° 1 + 2 cos 2 ⁡ 30 ° = 6,9 m / s

De acordo com o cálculo acima, o módulo da velocidade da bola 2 é 6,9   m / s .

Passo 5

Letra (b): Bom pessoal, como percebemos no item 2, a velocidade da bola 2 faz um ângulo de 30 ° no sentido anti-horário com o semieixo x positivo, vou colar aqui o desenho de novo:

Tranquilo?

Passo 6

Letra (c): no nosso sistema, consideramos que a velocidade das bolas 2 e 3 tem módulos iguais, pois elas têm massas iguais. Sendo assim, velocidade da bola 3, é igual da bola 2 e vale 6,9   m / s .

Mas e sua orientação?

Passo 7

Letra (d): Bom pessoal, usando um raciocínio análogo aos dos itens anteriores, sabemos que a velocidade da bola 3 faz um ângulo de 30 ° no sentido horário com o semieixo x positivo. Essa velocidade deve ser orientada para baixo, para haver conservação de momento! Beleza?

Vamos calcular agora o módulo e orientação da bola 1?

Bora lá! Estamos quase no fim!

Passo 8

Letra (e): Então, resgatando a equação para V lá do passo 4, podemos calcular V :

V = v 0 - 2 v cos ⁡ θ = 10 - 2 6,9 cos ⁡ 30 ° = - 2   m / s

Assim, o módulo da velocidade da bola 1 é 2,0   m / s . E sua orientação?

Passo 9

Letra (f): Reparem que o sinal negativo mostra que, após o choque, a bola 1 se move no sentido negativo do eixo x . Então o ângulo é θ = 180 ° .

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

a ) v 2 = 6,9   m / s

b )   a   v e l o c i d a d e   d a   b o l a   2   f a z   u m   â n g u l o   d e   30 °   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   c o m   o   s e m i e i x o   x   p o s i t i v o .  

c )   v 3 = 6,9   m / s

d )   a   v e l o c i d a d e   d a   b o l a   3   f a z   u m   â n g u l o   d e   30 °   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   c o m   o   s e m i e i x o   x   p o s i t i v o .  

e )   V = 2   m / s

f )   A p ó s   o   c h o q u e   a   b o l a   1   s e   m o v e   n o   s e n t i d o   n e g a t i v o   d o   e i x o   x .

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