A partícula 1 , de massa m 1 = 0,3   k g , desliza para a direita ao longo do eixo x em um piso sem atrito com uma velocidade escalar de 2   m / s . Quando chega ao ponto x = 0 , no instante t = 0 , ela sofre uma colisão elástica unidimensional com a partícula 2 de massa m 2 = 0,4   k g , que estava inicialmente em repouso, conforme a figura ao lado.

b )   Após a colisão, a partícula 2 se chocará com uma parede localizada no ponto x p = 70   c m (ver figura acima). Considerando essa colisão elástica, e a massa da parede muito maior que a da partícula 2 , qual a velocidade da partícula 2 após essa colisão dela com a parede?

c ) Após colidir com a parede, a partícula 2 irá colidir novamente com a partícula 1 ? Se sim, calcule em que posição x e em que instante t essa nova colisão irá ocorrer, e calcule também as novas velocidades finais de 1 e 2 após essa colisão (considerando colisão elástica). Se não, justifique.

Passo 1

Oii gente, tudo bem por aí?

O contexto dessa questão ocorre após a primeira colisão entre as partículas 1 e 2 . Usando a conservação da quantidade de movimento e a conservação da energia mecânica do sistema, encontramos as velocidades de 1 e 2 após essa primeira colisão:

v f , 1 = - 0,29 m s   ← v f , 2 = 1,71 m s   →

No item b ) precisaremos verificar a velocidade da partícula 2 após colidir com a parede.

Já no item c )   precisamos verificar se terá uma nova colisão entre a partícula 2 e a partícula 1 , como também a posição em que ocorrerá a colisão, o instante em que ela ocorre, e as novas velocidades de 1 e 2 , após a colisão. Beleza?

Pra verificar se as partículas irão colidir novamente precisamos analisar a velocidade relativa entre elas após a partícula 2 colidir com a parede. A partir disso, podemos usar as equações horárias do movimento para encontrar a posição e o instante em que ocorrerá a colisão.

Vamo nessa!

Passo 2

Começando pelo item b ) , precisamos calcular a velocidade da partícula 2 após a colisão.

Mas, tem um bizu muito importante aqui: como a partícula está colidindo elasticamente com uma parede (que possui massa muuuuito maior que m 2 ) , para que haja conservação da energia mecânica na colisão elástica, a partícula 2 permanecerá com a mesma velocidade em módulo, porém com sentido contrário.

Assim, podemos escrever que após a colisão com a parede, v ' 2 vale:

v ' 2 = 1,71   m / s     ( ← )

Excelente!

Passo 3

Agora precisamos verificar se as partículas irão colidir novamente.

Como após colidir com a parede, a partícula 2 movimenta-se para a esquerda com velocidade de 1,71   m / s e a partícula 1 desde a primeira colisão se movimenta para a esquerda com uma velocidade de 0,29   m / s . Temos que:

v r e l = 1,71 - 0,29 = 1,42 m / s     ( ← )

Como a velocidade relativa é maior do que zero, e não foi imposto limite de tamanho à esquerda para a superfície horizontal, podemos afirmar que as partículas irão colidir novamente.

Vamos então calcular a posição e o instante em que deverá ocorrer essa colisão.

Para isso precisamos determinar a distância entre as partículas no instante em que 2 colide com a parede.

Sabemos que:

x 2 =   + 0,7   m

Já para x 1 , sabemos que em t = 0 tínhamos x 1 = x 2 = 0 .

Se x 2 está agora em 0,7   m , é porque passou um intervalo de tempo dado por:

Δ t = 0,7 1,71 = 0,41 s

Nesse tempo, a nova posição da partícula 1 é dada por:

x 1 =   - 0,29 ⋅ 0,41

x 1 =   - 0,12   m

Assim, a distância entre 1 e 2 quando 2 se choca com a parede é dada por:

d = x 2 - x 1

= 0,7 - - 0,12

∴ d = 0,82   m

Portanto, lembrando que a velocidade relativa entre as partículas é dada por 1,42   m / s , temos que o intervalo de tempo em que ocorrerá a segunda colisão vale:

t = Δ t + 0,82 1,42

= 0,41 + 0,58

Logo:

t = 0,99 s

Esse é o instante em que ocorrerá a nova colisão. A posição pode ser dada por:

x 1 0,99 =   - 0,29 ⋅ 0,99

∴ x 1 0,99 = - 0,2871   m

Excelente!

Passo 4

Pra finalizar a questão, precisamos descobrir as novas velocidades das partículas 1 e 2 após a colisão. A ideia aqui é usarmos novamente as equações da conservação da quantidade de movimento e da energia mecânica.

Daí, pela conservação da quantidade de movimento:

- 0,3 ⋅ 0,29 - 0,4 ⋅ 1,71 = - 0,3 v 1 - 0,4 v 2

Os sinais vêm da suposição que todas as partículas estarão se movendo para a esquerda após a colisão.

∴ 0,771 = = - 0,3 v 1 - 0,4 v 2  

Já pela conservação da energia mecânica, teremos:

0,3 2 0,29 2 + 0,4 2 1,71 2 = 0,3 v 1 2 2 + 0,4 v 2 2 2

Assim:

1,19 = 0,3 v 1 2 + 0,4 v 2 2

Da equação da quantidade de movimento, temos:

v 2 = - 0,771 - 0,3 v 1 0,4

Substituindo na equação da energia mecânica, temos:

1,19 = 0,3 v 1 2 + 0,4 ⋅ - 0,771 - 0,3 v 1 0,4 2

Multiplicando por 0,4 em ambos os lados:

0,48 = 0,12 v 1 2 + 0,59 + 2 ⋅ 0,771 ⋅ 0,3 v 1 + 0,09 v 1 2

⇒ 0,21 v 1 2 + 0,46 v 1 + 0,11 = 0

Logo, por bháskara:

v 1 = - 0,46 ± 0,46 2 - 4 ⋅ 0,21 ⋅ 0,11 2 ⋅ 0,21

∴ v 1 = - 0,27   m / s - 1,92   m / s

A primeira solução não tem sentido físico, pois resultaria em uma v 2 > v 1 (ambas apontando para a esquerda). Assim, a segunda solução matemática é a correta.

v 1 =   - 1,92   m / s       ( ← )

Logo:

v 2 =   - 0,49   m / s         ( ← )

Prontinho gente, com isso encerramos essa questão!

Muito obrigado pela atenção e até a próxima 😊

Resposta

b )   v 2 ' = - 1,71   m / s       ( ← )

c )   t = 0,99   s x =   - 0,29   m v 1 =   - 1,92 m s     ← v 2 =   - 0,49   m / s       ( ← )

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