Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Momento Linear, Colisão

Dentro de uma câmara, temos uma névoa formada por gotículas d'água em suspensão, com uma densidade η . Considere um cubo de massa M, se deslocando horizontalmente sem atrito sobre um trilho neste ambiente, com uma velocidade inicial de módulo v o e direção perpendicular a uma de suas faces, de área A. Despreze a resistência com o ar e o atrito com o trilho.

  1. Se o corpo absorver a água ao longo de sua passagem, apenas pela face frontal, percorrendo uma distância d , qual vai ser sua velocidade final?

b) Qual a variação de energia do sistema?

c)Considere agora que no lugar de gotículas d'água, temos cristais de gelo, que sofrem colisões elásticas com a superfície do corpo. Considerando que a densidade da névoa é a mesma do caso anterior, qual a velocidade do corpo, decorrido um tempo τ do início do deslocamento?

Dê suas respostas em termos d ,   M ,   v o ,   A ,   τ   e   η   .

Passo 1

Mano, assumo que quando vi por cima essa questão eu pensei:

Mas ao ler percebemos que temos mais uma questão “fazível” de colisões e momento linear.

Os dados fornecidos na questão foram:

Densidade da névoa: η

Massa do Cubo: M

Área da face: A

Velocidade inicial do cubo: v o

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a)

Ao se locomover, o cubo vai absorvendo a névoa e a velocidade do carro tende a diminuir pois a massa do sistema será aumentada. Pela conservação do momento linear, a gente pode dizer:

M v o = M + Δ M v

Passo 3

Ele nos disse que a densidade é η , mas só lembrando, qual a fórmula da densidade?

η = m V

Show! Mas esse Δ M da relação seria justamente a massa quantidade de névoa que ele vai “catar”. Essa massa de quantidade de névoa é justamento o nosso m da equação acima! Assim, passando o V para o outro lado a gente vai ter:

m = V . η

Mas pera aí, quem seria esse V ?

É justamente o que a face de área A consegue capturar multiplicado pela distância que ele percorre, isso nos dá um volume. ;]

Daí, podemos escrever:

Δ M = m = η . A . d

Voltando para a nossa equação do momento e isolando o v ,   teremos:

M v o = M + η . A . d v

v = M v o M + η A d  

Passo 4

b)

Ah, a varição de energia será apenas a cinética, o Δ K .

Δ K = K f - K i = M + η . A . d v 2 2 - M v o 2 2 =

Substituindo pelo que achamos na letra a, vamos ter:

Δ K = M + η . A . d 2 . M v o M + η A d 2 - M v o 2 2 = M v o 2 2 M M + η A d - 1

∆ K = - M v o 2 η A d 2 M + η . A . d

Passo 5

c)

Show!Como agora a névoa muda inocentemente para cristal e as colisões serão elásticas muito provavelmente os cristais e o cubo não terão a mesma velocidade, como ocorreu na letra b. Mas só em dizer que a colisão é elástica o autor já nos diz duas coisas: Momento Linear é conservado e a Energia Cinética também. Bora escrever essas relações:

p i = p f

M . V = M V f + ∆ M V '

Sendo V f ,   V ' e   ∆ M respectivamente a velocidade final do cubo, velocidade adquirida pelos cristais e a massa da quantidade de cristais que já colidiram com o cubo.

Ah, a gente pode transformar esse V f em algo do tipo V + ∆ V , já que a velocidade final nada mais é do que a velocidade inicial acrescentada ou reduzida de uma variação de velocidade. Reescrevendo a relação que a gente achou , teremos:

M . V = M V + ∆ V + ∆ M V '

M V = M V + M ∆ V + ∆ M V '

- M ∆ V = ∆ M V '

Isolando esse V ' , vai ficar:

V ' = - M ∆ M ∆ V

Passo 6

Agora fazendo a mesma coisa para energia cinética, vai ficar:

M V 2 2 = M V + ∆ V 2 2 + ∆ M V ' ² 2

Desenvolvendo melhor, teremos que:

M V ² = M V ² + 2 M V ∆ V + M ∆ V ² + ∆ M V ' ²

0 = 2 M V ∆ V + M ∆ V ² + ∆ M V ' ²

Opa, mas no passo anterior a gente chegou na relação que dizia um valor para V ' . Substituindo esse valor na relação...

- 2 V ∆ V = M ∆ V 2 + ∆ M . M 2 ∆ V 2 ∆ M ²  

Daí a gente corta os M ' s e ∆ V ' s .

- 2 V = ∆ V + M ∆ V ∆ M = ∆ V   1 + M ∆ M = ∆ V   M + ∆ M ∆ M

Passo 7

Talvez esse passo seja a maior dificuldade dessa questão, aquela bendita “sacada” que resolve tudo. Saca só!

Supondo que esses cristaisinhos sejam mega-ultra-power-minion pequenos em comparação ao cubo, a massa do cubo vai ser beeeeeem maior que a dos cristais e assim podemos aproximar a soma M + ∆ M ≅ M .

Desta forma a nossa relação vai ficar:

- 2 V = ∆ V M ∆ M

Passo 8

Show of Ball! Mas daí depois desse tempo todo a gente pensa: “Quem será esse ∆ M ?”

Como falei lá em cima o ∆ M é a massa dos cristais de gelo que o cubo vai colidindo, e como fizemos lá no Passo 3, podemos reescrever essa massa de tal forma:

∆ M = η A d

O nosso problema é que pra essa letra c ele nem falou em “d”. :/

Lembrando lá da cinemática a gente sabe que S = S o + v t e desta forma a gente pode reescrever essa equação, já que ele nos deu um τ .

Δ M = η A V Δ t

Substituindo novamente lá na fórmula do Passo 7, vai ficar:

- 2 V = ∆ V M η A V Δ t

M Δ V = - 2 η A V ² Δ t

Δ V V ² = - 2 η A M Δ t

Passo 9

Tá lindo! Pra concluir aqui, a gente pensa: “ Ah, e se a gente considerar esses Δ ' s tão pequenos que possamos substituir por um diferencial?”. Vai ficar isso aqui, oh:

d V V ² = - 2 η A M d t

Aí, meu amigo é só integrar e correr pro abraço!

∫ V o V f d V V 2 = - 2 η A M ∫ 0 τ d t

1 V V o V F = 2 η A τ M  

1 V F - 1 V O = 2 η A τ M

1 V F = 1 V o + 2 η A τ M = M + 2 η A τ V o M V o

V F = M V o M + 2 η A τ V o

Resposta

  1. v = M v o M + η A d
  2. ∆ K = - M v o 2 η A d 2 M + η . A . d
  3. V F = M V o M + 2 η A τ V o

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