Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Colisão, Energia Potencial e Conservação de Energia

Um bloco de massa M está em equilíbrio preso a uma mola ideal, de constante elástica k , inicialmente em sua posição relaxada, como mostra a figura. Uma bala de massa m com velocidade horizontal de módulo v 0 colide com esse bloco de modo que a bala retorna após a colisão no sentido oposto com velocidade de módulo v 0 / 2 .

Considere que: a colisão é instantânea; que a mola é ideal; que a resistência do ar é desprezível; e que a gravidade tem módulo g conhecido.

Determine, em função dos dados do problema:

a) a velocidade V do bloco de massa M imediatamente após a colisão.

b) a compressão máxima da mola.

c) a razão m / M para que a colisão seja elástica.

Passo 1

a)

Queremos achar a velocidade V do bloco logo depois da colisão. Repare que o enunciado especificou que a colisão é instantânea. Ou seja, no momento imediatamente após a colisão, podemos ignorar a mola, ela não vai alterar o valor de V .

Por isso, vamos considerar o sistema bala+bloco.

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Passo 2

A mola não está no sistema, mas ela está relaxada, então ela não exerce nenhuma força no sistema. Ou seja, não tem nenhuma força externa atuando no nosso sistema: podemos aplicar a conservação do momento linear:

p → i = p → f ,

p → i e p → f sendo os momentos lineares logo antes e logo depois da colisão, respectivamente.

Em módulo, temos

p i = p f

Passo 3

A bala tem massa m e velocidade inicial de módulo v 0 , enquanto o bloco tem massa M mas está parado.

Vamos definir o sentido de v → 0 (pra direita) como positivo. Então o momento linear total do sistema bala+bloco logo antes da colisão, em módulo, é:

p i = m v 0 + M ⋅ 0 = m v 0

Passo 4

Logo após a colisão, a bala volta com velocidade de módulo v 0 / 2 no sentido oposto, então sua velocidade agora é negativa. E o bloco M vai ter a velocidade V , que é justamente o que a gente quer achar!

Então o módulo do momento linear total do sistema logo após a colisão é:

p f = m - v 0 2 + M V = M V - m v 0 2

Passo 5

Voltando pra equação da conservação do momento linear:

p i = p f

⇒ m v 0 = M V - m v 0 2

⇒ 3 2 m v 0 = M V

⇒ V = 3 m v 0 2 M

Passo 6

b)

Agora a mola vai entrar na jogada!

De novo vamos usar o fato da colisão ser instantânea. Logo após a colisão, a bala já não encosta mais no bloco, então podemos considerar agora o sistema bloco+mola, show?

Passo 7

As forças atuando no sistema são a força peso do bloco e a força elástica da mola, e ambas são conservativas! Então no trajeto do bloco comprimindo a mola até parar podemos usar a conservação da energia mecânica E m .

Sendo agora o momento inicial i logo após a colisão e o momento final f quando a compressão da mola é máxima e o bloco para, temos:

E m i = E m f

Passo 8

Não vamos lidar com energia potencial gravitacional, porque tanto o bloco quanto a mola estão no nível do chão. Então temos a energia cinética K e a energia potencial elástica U e l , e a equação fica:

K i + U e l i = K f + U e l f

Passo 9

Mas logo depois da colisão, o bloco ainda não comprime a mola, então a energia potencial elástica inicial é nula:

U e l i = 0

E no fim do movimento o bloco para, então sua energia cinética final também é nula:

K f = 0

Então a equação ficou:

K i = U e l f

Melhor né? :)

Passo 10

Como já vimos, logo depois da colisão o bloco tem uma velocidade V = 3 m v 0 2 M . Então sua energia cinética inicial é:

K i = 1 2 M V 2

⇒ K i = 1 2 M 3 m v 0 2 M 2

Passo 11

Sendo x a compressão máxima da mola que queremos achar, a energia potencial elástica final é dada por:

U e l f = 1 2 k x 2

Passo 12

Ou seja, a equação ficou

K i = U e l f

⇒ 1 2 M 3 m v 0 2 M 2 = 1 2 k x 2

Vamos ajeitar isso aí! Multiplicando dos dois lados por 2 e dividindo por k , fica:

M k 3 m v 0 2 M 2 = x 2

⇒ x = M k 3 m v 0 2 M 2 = M k ∙   3 m v 0 2 M

Então essa é a compressão máxima da mola!

Passo 13

c)

Agora voltamos a falar da colisão entre a bala e o bloco, então vamos voltar pro sistema bala+bloco, ok?

Agora a colisão é elástica, então a energia cinética é conservada!

Passo 14

Antes da colisão, o bloco está parado, então a energia cinética total do sistema bala+bloco é a energia cinética da bala 1 2 m v 0 2 .

Depois da colisão, a velocidade da bala é v 0 2 e a do bloco é V . Então a energia cinética final do sistema é 1 2 m v 0 2 2 + 1 2 M V 2 .

Logo, a equação de conservação da energia cinética é:

1 2 m v 0 2 = 1 2 m v 0 2 2 + 1 2 M V 2

Passo 15

Vamos multiplicar tudo por 2 e substituir V = 3 m v 0 2 M :

m v 0 2 = m v 0 2 2 + M 3 m v 0 2 M 2

⇒ m v 0 2 = m v 0 2 4 + M ⋅ 9 m 2 v 0 2 4 M 2

Podemos dividir tudo por m v 0 2 , aí sobra:

1 = 1 4 + 9 m M 4 M 2 = 1 4 + 9 m 4 M

⇒ 9 m 4 M = 3 4

⇒ m M = 4 9 ∙ 3 4 = 3 9 = 1 3

Então pra colisão ser elástica, devemos ter m M = 1 3 .

Resposta

a)

V = 3 m v 0 2 M

b)

x = M k ∙   3 m v 0 2 M

c)

m M = 1 3

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