Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

UERJ – 2ª Lista

Considere um choque frontal entre duas bolinhas, como esquematizado na figura abaixo ( m 1 = 1   kg ; m 2   =   2   kg ; v 1 = 4   m/s ; v 2 = 2   m/s ):

a Supondo que a colisão seja elástica (a energia mecânica se conserva), calcule as velocidades após o choque.

Passo 1

a Para determinar a velocidade das bolinhas após a colisão, vamos utilizar do dado que a colisão é elástica logo conserva energia mecânica.

E mec antes = E mec depois

Antes da colisão temos somente as bolinhas se movimentando, portanto só temos energia cinética, temos então:

E mec antes = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2  

Substituindo os valores, temos:

E mec antes = 1 ⋅ 4 2 2 + 2 ⋅ 2 2 2

E mec antes = 12   J

Depois da colisão, também teremos somente energia cinética, temos então:

E mec depois = m 1 v 1 ' 2 2 + m 2 v 2 ' 2 2

Onde v 1 ' e v 2 ' são as velocidades depois da colisão das bolinhas 1 e 2 respectivamente.

Substituindo os valores, temos:

E mec depois = 1 ⋅ v 1 ' 2 2 + 2 ⋅ v 2 ' 2 2

Igualando a energia antes com a energia depois, temos:

E mec antes = E mec depois

12 = v 1 ' 2 2 + v 2 ' 2

Vishh, temos duas variáveis v 1 ' e v 2 ' e só uma equação, por isso, temos que utilizar outro artifício, devemos lembrar que em uma colisão em um sistema isolado (sem ação de outras forças), temos que o momento linear sempre se conserva! Vamos então utilizar a conservação do momento linear!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

De acordo com a conservação do momento linear, temos:

p → 1 antes + p → 2 antes = p → 1 depois + p → 2 depois

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 '

substituindo os valores, temos:

1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 = 1 ⋅ v 1 ' + 2 ⋅ v 2 '

8 = v 1 ' + 2 v 2 '

Pronto!! Agora temos duas equações e duas incógnitas. A primeira equação vem do “passo 1 ”, onde fizemos a conservação da energia mecânica e a segunda equação vem da conservação do momento linear:

12 = v 1 ' 2 2 + v 2 ' 2

8 = v 1 ' + 2 v 2 '

Agora é só resolver esse sistema!

Substituindo o valor de v 1 ' = 8 - 2 v 2 ' na primeira equação, temos:

12 = 8 - 2 v 2 ' 2 2 + v 2 ' 2

12 = ( 64 - 32 v 2 ' + 4 v 2 ' 2 ) 2 + v 2 ' 2

12 = 32 - 16 v 2 ' + 2 v 2 ' 2 +   v 2 ' 2

3 v 2 ' 2 - 16 v 2 ' + 20 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos duas raízes, no entanto, temos que a única raiz possível é:

v 2 ' = 10 3   m/s

(a outra raiz é 2 m / s , que é a velocidade antes da colisão, por isso não é uma solução possível já que sabemos que a velocidade tem que mudar!)

Dessa forma, a velocidade da bolinha 1 depois da colisão é:

v 1 ' = 8 - 2 v 2 '

v 1 ' = 8 - 2 10 3

v 1 ' = 4 3   m/s

Resposta

a   v 2 ' = 10 3   m/s ;     v 1 ' = 4 3   m/s

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