Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica, Colisões

Um corpo de massa m 1 desce, a partir do repouso, uma rampa semiesférica de raio R sem atrito, partindo da mesma altura do centro rampa. Ao chegar no ponto mais baixo ele colide com outro corpo de massa m 2 = 2 m 1 que se encontrava ali em repouso. Considere a colisão elástica e com Σ   F e x t = 0 . Encontre a altura H f que o corpo 2 sobe em função de R .

Tome g = 10   m / s 2 .

Passo 1

Vou fazer um esqueminha simples pra gente visualizar melhor:

Vou dividir o estudo do movimento em 3 partes: a descida da m 1 , a colisão e a subida de m 2 , show?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Descida de m 1 :

Podemos começar calculando com que velocidade v 1 a a massa m 1 tem logo antes de colidir com m 2 . Pra isso, podemos aplicar a conservação da energia mecânica (já que Σ   F e x t = 0 ):

E 1 i = E 1 a

E 1 i sendo a energia mecânica da massa m 1 assim que ela inicia a descida e E 1 a a sua energia mecânica logo antes da colisão com m 2 .

Seja K a energia cinética e U a energia potencial gravitacional, então

E = K + U

Logo,

K 1 i + U 1 i = K 1 a + U 1 a

Passo 3

A massa m 1 parte do repouso então sua velocidade inicial é nula, assim como sua energia cinética ( K 1 i = 0 ). Além disso, sua energia potencial gravitacional inicial é U 1 i = m g R , então:

0 + m g R = K 1 a + U 1 a

Logo antes da colisão, a massa não tem energia potencial gravitacional, então U 1 a = 0 , o que dá:

m g R = K 1 a = 1 2 m v 1 a 2

⇒ v 1 a 2 = 2 g R

⇒ v 1 a = 2 g R

que é aquele resultado clássico de metade dos exercícios de Física 1 rs.

Usando g = 10   m / s 2 isso dá

v 1 a = 20 R   m / s

Passo 4

Colisão:

Vamos começar aplicando a conservação do momento linear total. Sendo p a e p d o momento linear do sistema logo antes e logo depois da colisão, respectivamente, temos

p a = p d

Passo 5

E logo antes da colisão, a massa m 2 está parada, logo o momento linear total é:

p a = m 1 ⋅ v 1 a + m 2 ⋅ 0 = m 1 2 0 R

Passo 6

Logo depois da colisão, podemos definir v 1 d e v 2 d como as velocidades das massas m 1 e m 2 , respectivamente. Então o momento linear total é

p d = m 1 v 1 d + m 2 v 2 d

Como m 2 = 2 m 1 isso dá

p d = m 1 v 1 d + 2 m 1 v 2 d

⇒ p d = m 1 v 1 d + 2 v 2 d

Passo 7

Ou seja, pela conservação do momento linear:

p a = p d

⇒   m 1 20 R = m 1 v 1 d + 2 v 2 d

⇒ 20 R = v 1 d + 2 v 2 d

Passo 8

Beleza, agora vamos aproveitar o fato que a colisão é elástica! Isso significa que a energia cinética total é conservada:

K a = K d

Passo 9

Como já vimos, logo antes da colisão m 2 está no repouso, então sua energia cinética é nula ( K 2 a = 0 ).

Então

K a = K 1 a = 1 2 m 1 v 1 a 2

⇒ K a = 1 2 m 1 20 R 2

⇒ K a = 1 2 m 1 20 R

⇒ K a = 10 m 1 R

Passo 10

Logo depois da colisão, a energia cinética é

K d = K 1 d + K 2 d

⇒ K d = 1 2 m 1 v 1 d 2 + 1 2 2 m 1 v 2 d 2

⇒ K d = m 1 v 1 d 2 2 + v 2 d 2

Passo 11

Então a conservação da energia cinética ficou

K a = K d

⇒   10 m 1 R = m 1 v 1 d 2 2 + v 2 d 2

⇒   10 R = v 1 d 2 2 + v 2 d 2

⇒ 20 R = v 1 d 2 + 2 v 2 d 2

⇒ 20 R = v 1 d 2 + 2 v 2 d 2

Passo 12

Recapitulando, isso tudo nos deu as equações

20 R = v 1 d + 2 v 2 d 20 R = v 1 d 2 + 2 v 2 d 2

Portanto,

v 1 d + 2 v 2 d = v 1 d 2 + 2 v 2 d 2

Elevando tudo ao quadrado:

v 1 d + 2 v 2 d 2 = v 1 d 2 + 2 v 2 d 2

⇒ v 1 d 2 + 4 v 1 d v 2 d + 4 v 2 d 2 = v 1 d 2 + 2 v 2 d 2

⇒ 4 v 1 v 2 d + 2 v 2 d 2 = 0

⇒ 2 v 2 d 2 v 1 d + v 2 d = 0

Passo 13

Assumimos que a massa m 2 tem uma velocidade não nula logo depois da colisão, ou seja v 2 d ≠ 0 . Assim,

2 v 1 d + v 2 d = 0

⇒ v 2 d = - 2 v 1 d

Pela 1ª equação do sistema lá de cima, temos v 1 d = 20 R - 2 v 2 d então vamos ter

v 2 d = - 2 20 R - 2 v 2 d

⇒ v 2 d = - 2 20 R + 4 v 2 d

⇒   - 3 v 2 d = - 2 20 R

⇒ v 2 d = 2 3 20 R

Passo 14

Subida de m 2 :

Ela parte sem energia potencial gravitacional ( U 2 d = 0 ) e sua energia cinética é:

K 2 d = 1 2 m 2 v 2 d 2 = 1 2 2 m 1 2 3 20 R 2

⇒ K 2 d = m 1 4 9 20 R

⇒ K 2 d = 80 9 m 1 R

Terminando sua subida, m 2 chega no repouso na altura H f onde sua energia cinética é zero K 2 f = 0 e sua energia potencial gravitacional é U 2 f = m 2 g H f = 2 m 1 g H f .

Passo 15

Pela conservação da energia mecânica, temos

K 2 d + U 2 d = K 2 f + U 2 f

⇒   80 9 m 1 R + 0 = 0 + 2 m 1 g H f

⇒ 80 9 R = 2 g H f

⇒ H f = 80 9 R 1 2 g

Fazendo g = 10   m / s ² , vai dar

H f = 80 9 R 1 20

⇒ H f = 4 9 R

Uhul, conseguimos! :)

Resposta

H f = 4 9 R

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