Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Uma partícula (1) de massa m 1 = 2 m se move na direção positiva do eixo x com velocidade v = 3,0   m / s no topo de uma mesa sem atrito de altura h = 5,0   m . Ao final da mesa encontra-se uma partícula (2) de massa m 2 = m . Ignore a dimensão das partículas.

a) Supondo que a partícula (1) colide com a partícula (2) elasticamente como é descrito na figura, encontre a distância total percorrida por cada partícula em relação a base da mesa (na figura as distâncias são representadas por D 1 e D 2 , suas trajetórias são descritas pelas linhas tracejadas). O tempo de queda é 1,0   s .

Passo 1

Essa questão se divide em duas partes.

A primeira delas é uma Colisão Elástica, onde vamos encontrar as velocidades finais de cada partícula.

Feito isso, vamos à segunda parte que é um Lançamento Horizontal a partir da mesa, onde nosso objetivo será achar o alcance de cada partícula.

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Passo 2

Começando pela colisão...

Já durante a colisão não há ação de forças externas (peso e normal se anulam), o momento linear do sistema vai se conservar:

p 0 = p

Além disso, como a colisão é elástica, a energia cinética do sistema também se conserva:

K 0 = K

A partir dessas duas equações, conseguimos encontrar as velocidades das partículas.

Passo 3

Inicialmente, apenas a partícula (1) se move, portanto ela é a única com momento linear:

p 0 = m 1 v

A massa m 1 = 2 m e a velocidade inicial da partícula (1) é v = 3   m / s :

p 0 = 2 m 3 = 6 m

Já após a colisão, temos movimento das duas partículas, então consideramos o momento linear de ambas:

p = m 1 v 1 + m 2 v 2

Substituindo as massas:

p = 2 m v 1 + m v 2

Passo 4

Já temos o momento linear inicial p 0 e final p . Podemos jogar na equação da conservação do momento linear:

p 0 = p

6 m = 2 m v 1 + m v 2

6 = 2 v 1 + v 2

v 2 = 6 - 2 v 1

Achamos a primeira relação entre as velocidades.

Agora, vamos utilizar a energia cinética para a segunda relação.

Passo 5

Novamente, como no início apenas a partícula (1) se move e após a colisão as duas partículas se movem, a conservação da energia cinética ficará:

K 0 = K

m 1 v 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2

m 1 v 2 = m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2

Substituindo as massas m 1 e m 2 e também o valor da velocidade inicial de (1) v :

2 m 3 2 = 2 m v 1 2 + m v 2 2

18 = 2 v 1 2 + v 2 2

Achamos nossa segunda relação.

Passo 6

Ficamos com esse sistema:

v 2 = 6 - 2 v 1 18 = 2 v 1 2 + v 2 2

Substituindo o valor de v 2 da primeira equação na segunda, temos:

18 = 2 v 1 2 + 6 - 2 v 1 2

18 = 2 v 1 2 + 36 - 24 v 1 + 4 v 1 2

6 v 1 2 - 24 v 1 + 36 - 18 = 0

6 v 1 2 - 24 v 1 + 18 = 0

Agora, temos uma equação do segundo grau e queremos achar as raízes.

Se simplificarmos todos os termos por uma constante, as raízes serão as mesmas, então vamos dividir por 6 :

v 1 2 - 4 v 1 + 3 = 0

Aplicando o Bháskara, temos:

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = - 4 2 - 4 1 3

∆ = 16 - 12

∆ = 4

Achando as raízes:

v 1 = - b ± ∆ 2 a

v 1 = - - 4 ± 4 2 1

v 1 = 4 ± 2 2

O primeiro valor para v 1 será:

v 1 = 4 + 2 2 = 3   m / s

E o segundo valor para v 1 será:

v 1 = 4 - 2 2 = 1   m / s

Mas como sabemos qual deles está correto?

Precisamos aplicar os dois valores na equação para achar v 2 e ver qual deles é fisicamente coerente.

Passo 7

Vamos achar o valor de v 2 a partir da primeira equação, que é mais simples:

v 2 = 6 - 2 v 1

Aplicando v 1 = 3   m / s :

v 2 = 6 - 2 3 = 0

Pensa comigo, numa colisão unidimensional, se a partícula (1) que estava andando para a direita bate na partícula (2) parada, porém a partícula (2) continua parada enquanto a partícula (1) sai com a mesma velocidade.

Isso é incoerente!

Então, o valor correto será o outro que achamos.

Aplicando v 1 = 1   m / s :

v 2 = 6 - 2 1 = 4   m / s

Passo 8

Agora, achamos as velocidades finais de cada partícula:

v 1 = 1   m / s v 2 = 4   m / s

Vamos usar esses valores na segunda parte do nosso problema, o Lançamento Horizontal.

Normalmente, temos que trabalhar primeiro o movimento vertical para encontrar o tempo de queda e depois achar o quanto a partícula andou na vertical ao longo desse tempo.

Porém, a questão facilitou para a gente e já nos deu o tempo de queda ( 1,0   s ).

Como na horizontal, as partículas realizam um movimento uniforma (velocidade constante), basta aplicarmos esse valor de tempo na equação de movimento de um M U :

S = S 0 + v t

Para a partícula (1), temos:

D 1 = 0 + 1 1,0

D 1 = 1   m

Já para a partícula (2), temos:

D 2 = 0 + 4 1,0

D 2 = 4   m

Resposta

(a)

D 1 = 1   m

D 2 = 4   m

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