Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

PUC-RIO – 2ª Prova – 2013.1

Uma bola de massa m , com velocidade de 24   m / s que faz um ângulo de 60 ° com a horizontal, atinge o centro de uma placa, também de massa m , que se encontra inicialmente em repouso. Durante a colisão não há atrito e, devido à colisão, podemos considerar que a placa se move apenas verticalmente. Considerando esta colisão elástica, determine:

a Que grandezas são conservadas nesta colisão. Justifique.

b A direção e sentido dos vetores impulso atuando sobre a placa e sobre a bola.

c   O vetor velocidade final de ambas as massas, bola e placa, logo após o impacto.

d O vetor força média que atuou na bola sabendo que o tempo da colisão foi de 10 - 5   s .

Passo 1

a   Em uma colisão, temos que o momento linear se conserva, pois não atuam forças externas ao sistema. Por se tratar de uma colisão elástica, temos que a energia cinética também se conserva.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Para determinar o vetor impulso, vamos relembrar sua definição:

I = Δ p = m . ( v f - v 0 )

No caso da placa, como não há movimento no eixo x nem antes nem depois da colisão temos que o impulso I x é zero.

Já no eixo y , pela equação de momento temos

I y = p y f - p y o

Como o momento inicial da placa é zero, pois ela estava em repouso, descobrimos que haverá impulso na direção y

I y = p y f

Agora só precisamos descobrir o sentido desse vetor. Para isso vamos abrir a equação de momento

I y = m . v p

Onde v p é a velocidade da placa depois da colisão, olhando a imagem vemos que a bola vai colidir com a placa e empurrá-la para baixo, assim o único sentido possível para o movimento da placa é para baixo (sentido negativo do eixo y ).

Sendo assim definimos o sentido da velocidade da placa que será negativa, implicando que o impulso em y será no sentido negativo também.

Assim o vetor impulso na placa é dado por

I = - m . v p . j ^

Agora vamos estudar o caso da bola,

Como no item a dissemos que o momento linear se conserva, devido a isso sabemos que o impulso resultante no sistema deve ser zero.

O nosso sistema é composto por bola e placa, terminamos de dizer a direção e sentido do impulso na placa, para que a resultante do impulso no sistema seja zero, temos que o impulso na bola é na mesma direção e módulo do impulso na placa, porém com o sentido oposto.

O impulso na bola pode ser dado por

I = m . v p . j ^

Passo 3

c   Para descobrirmos a velocidade final da bola, vamos aplicar conservação de momento em cada eixo do sistema.

Começando pelo eixo x , pois apenas a bola consegue se movimentar nesse eixo.

Sendo assim temos que

p x 0 = p x f

m . v 0 . cos 60 ° = m . v . cos θ

Cortando a massa e isolando v , chegamos na primeira equação

1 ª   e q �� v = 1 2 . v 0 cos θ

Agora, vamos analisar o eixo y , onde por conservação de momento temos

p x 0 = p x f

No momento antes da colisão só a bola se movimentava e depois da colisão a bola continua a se movimentar, mas a placa começa a se movimentar também, então podemos reescrever a fórmula acima

- m . v 0 . s e n 60 ° = m . v . s e n θ + m . v p

Como já vimos v p   é negativa, e podemos cortar a massa, chegamos na nossa segunda equação

2 ª   e q - v 0 . 3 2 = v . s e n θ - v p

Podemos agora substituir a primeira equação na segunda e obtemos

- v 0 . 3 2 = 1 2 . v 0 cos θ . s e n θ - v p

Lembrando que seno dividido por cosseno é tangente e isolando v p , chegamos na nossa terceira equação

3 ª   e q v p = 1 2 . v 0 t g θ + 3

Passo 4

Precisamos de mais uma equação para resolver o problema, já usamos conservação de momento linear, então agora vamos usar o fato que a energia cinética também se conserva.

K 0 = K f

Então vamos ter

1 2 . m . v 0 2 = 1 2 . m . v 2 + 1 2 . m . v p 2

Cortando tudo que se repete nos três termos da equação chegamos na nossa quarta equação

4 ª   e q v 0 2 = v 2 + v p 2

Agora, substituindo a primeira e a terceira equação na quarta temos

v 0 2 = 1 2 . v 0 cos θ 2 + 1 2 . v 0 t g θ + 3 2

Passo 5

Precisamos resolver essa equação agora, podemos cortar v 0

4 = 1 cos 2 θ + t g 2 θ + 2 . 3 . t g θ + 3

Tirando o cos 2 θ do denominador e abrindo a tangente em seno e cosseno

4 .   cos 2 θ = 1 + s e n 2 θ + 2 . 3 . s e n θ . cos θ + 3 . cos 2 θ

cos 2 θ = 1 + 2 . 3 . s e n θ . cos θ + s e n 2 ( θ )

Lembrando da relação fundamental, onde

cos 2 θ + s e n 2 θ = 1

Assim, chegamos na equação

cos 2 θ = cos 2 θ + s e n 2 θ + 2 . 3 . s e n θ . cos θ + s e n 2 ( θ )

0 = + 2 . 3 . s e n θ . cos θ + 2 . s e n 2 ( θ )

s e n 2 θ = - 3 . s e n θ . cos θ

Temos a solução onde θ = 0 , e a solução onde

s e n θ = - 3 . cos θ

t g θ = - 3

Assim, a outra solução é θ = - 60 °  

Essa solução não serve para gente, pois iria violar uma das conservações, basta substituir nas fórmulas para conferir.

Vamos então usar a solução θ = 0 ° , assim substituindo na primeira equação temos que a velocidade da bola depois da colisão é

v = 1 2 . v 0 cos 0

v = 1 2 . v 0

v = 12   m / s

Agora, para achar a velocidade da placa depois da colisão é só substituir θ = 0 na equação 3

v p = 1 2 . v 0 t g 0 + 3

v p = + 20,78   m / s

Passo 6

d   Para calcularmos a força média aplicada na bola, vamos usar a fórmula

I = F m e d . Δ t

No “passo 2” vimos que o impulso aplicado na bola é igual

I = m . v p

Assim,

m . v p = F m e d . Δ t

Substituindo o valor de m , v p e   Δ t

F m e d = m . 20,78 10 - 5 . j ^

Resposta

a   P   e K

b   Bola: Direção y sentido positivo

Placa: Direção y   sentido negativo

c   v = 12   m / s  

v p = + 20,78   m / s  

d   F m e d = m . 20,78 10 - 5 . j ^

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