Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

UERJ – 2ª Lista

Uma bolinha de massa m e velocidade 13   m/s colide com outra bolinha de massa m (inicialmente em repouso) como mostra a figura abaixo. Considere que o choque é elástico (a energia mecânica se conserva) e que cos θ = 12 13 .

a Escreva as equações de conservação de E M e de Q .

b Calcule as velocidades finais.

Passo 1

a   Quando temos uma colisão elástica, temos que a energia mecânica total do sistema se conserva. No caso do nosso sistema, onde temos duas bolinhas, a equação da conservação da energia mecânica será:

m 1 v 1 0 2 2 + m 2 v 2 0 2 2 = m 1 v 1 f 2 2 + m 2 v 2 f 2 2

Sabendo que as massas são iguais, v 1 0 = 13   m/s e que v 2 0 = 0 , temos:

m 13 2 + m 0 2 = m v 1 f 2 + m v 2 f 2

13 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela figura, podemos perceber que se trata de uma colisão em duas dimensões, quando isso ocorre, podemos tratar cada coordenada separadamente. Para o momento linear, ou quantidade de movimento, temos:

No eixo x :

m 1 v 1 x 0 + m 2 v 2 x 0 = m 1 v 1 x f + m 2 v 2 x f

sabendo que as massas são iguais, v 1 x 0 = 13   m/s e v 2 x 0 = 0 , temos:

m 13 + m 0 = m v 1 x f + m v 2 x f

13 = v 1 x f + v 2 x f

No eixo y :

m 1 v 1 y 0 + m 2 v 2 y 0 = m 1 v 1 y f + m 2 v 2 y f

sabendo que as massas são iguais, e que v 1 y 0 = v 2 y 0 = 0 , temos:

m 0 + m 0 = m v 1 y f + m v 2 y f

0 = v 1 y f + v 2 y f

Agora que temos todas as equações, vamos para a letra b !

Passo 3

b   Para determinar a velocidade final das bolinhas temos que lembrar da relação entre o módulo das velocidades e suas componentes, pela regra do “COlado/SEparado”

v 1 f cos θ = v 1 x f

v 1 f 12 13 = v 1 x f

sabendo da relação v 2 = v x 2 + v y 2 , temos:

v 1 f 2 = v 1 x f 2 + v 1 y f 2

v 1 f 2 = v 1 f 12 13 2 + v 1 y f 2

v 1 y f 2 = v 1 f 5 13 2

v 1 y f = v 1 f 5 13

Agora que temos as componentes da velocidade final da bolinha 1 em função do módulo da velocidade, podemos agora achar a mesma relação só que para a bolinha 2 !

Passo 4

Pela conservação do momento linear no eixo y , temos:

v 1 y f = - v 2 y f

ou seja:

v 2 y f = - v 1 f 5 13

Pela conservação do momento linear no eixo x , temos:

13 = v 1 x f + v 2 x f

Substituindo v 1 f 12 13 = v 1 x f   , temos:

13 = v 1 f 12 13 + v 2 x f

v 2 x f = 13 - v 1 f 12 13

Agora que temos todas as componentes em função do módulo da velocidade final da bolinha 1 , é só substituir na equação da conservação da energia mecânica, se liga no próximo passo!

Passo 5

Pela equação da conservação da energia mecânica, temos:

13 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

13 2 = v 1 f 2 + ( v 2 x f 2 + v 2 y f 2 )  

substituindo os valores em função de v 1 f :

13 2 = v 1 f 2 + 13 - v 1 f 12 13 2 + - v 1 f 5 13 2  

13 2 = v 1 f 2 + 13 2 - 24 v 1 f + v 1 f 2 12 2 13 2 + v 1 f 2 25 13 2

24 v 1 f = 2 v 1 f 2

v 1 f = 12   m/s

Substituindo na equação na energia mecânica, podemos determinar a velocidade da bolinha 2 !

13 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

13 2 = 12 2 + v 2 f 2

v 2 f = 5   m/s

Resposta

a   Conservação da Energia Mecânica:

13 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

Conservação do Momento Linear:

e i x o   x   13 = v 1 x f + v 2 x f

e i x o   y   v 1 y f = - v 2 y f

b v 1 f = 12   m/s ; v 2 f = 5   m/s

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