Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

Considere uma colisão frontal (de maneira que o movimento ocorre em uma única dimensão) entre duas partículas, de massas m 1 = m e m 2 = 3 m . Inicialmente a partícula de massa m 2 encontra-se em repouso enquanto a de massa m 1 se move com velocidade v → 0 . Sabendo que a colisão é elástica, pode-se afirmar que, após a colisão:

(a) A partícula de massa m 1 passa ao repouso enquanto a de massa m 2 passa a se mover com velocidade v → 0 .

(b) A partícula de massa m 1 passa ao repouso enquanto a de massa m 2 passa a se mover com velocidade v → 0 / 3 .

(c) A partícula de massa m 1 passa a se mover com velocidade v → 1 no sentido contrário ao de v → 0 ao passo que a de massa m 2 se move com velocidade v → 2 no mesmo sentido de v → 0 .

(d) Ambas as partícula se movem com velocidades no mesmo sentido de v → 0 .

(e) A partícula de massa m 1 passa ao repouso enquanto a de massa m 2 passa a se mover com velocidade v → 0 / 4 .

Passo 1

O enunciado falou sobre colisão, a primeira coisa que você tem que pensar é no momento linear, pois em TODAS as colisões (elásticas e inelásticas) o momento linear se conserva.

OBS: Assumindo que o sistema está livre da ação de forças externas né :D

Como a questão não diz nada sobre alguma força externa atuando no sistema, vamos usar essa ideia e aplicar a conservação do momento linear:

p → 0 = p →

Além disso, sabemos que a colisão é elástica, portanto, tiramos também que a energia cinética se conserva:

K 0 = K

Então, com essas duas relações, podemos saber o que acontece a velocidade de cada uma das partículas após a colisão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com a conservação do momento linear:

p → 0 = p →

Antes da colisão apenas a partícula 1 se movia, então o momento linear inicial no sistema será:

p → 0 = p → 0 1

Já após a colisão, não sabemos ainda o que acontece, então vamos considerar que as duas têm um momento linear:

p → = p → 1 + p → 2

Lembrando que momento linear é dado pelo produto da massa com o vetor velocidade:

p → = m v →

Temos que:

p → 0 = p →

p → 0 1 = p → 1 + p → 2

m 1 v → 0 = m 1 v → 1 + m 2 v → 2

Além disso, sabemos que m 1 = m e m 2 = 3 m :

m v → 0 = m v → 1 + 3 m v → 2

Podemos cortar as massas:

v → 0 = v → 1 + 3 v → 2

Ainda estamos trabalhando de forma vetorial, pois não sabemos ainda o sentido das velocidades finais. Porém, vamos chutar que ambas estão no sentido positivo v → 0 , por exemplo, e caso isso não seja verdade, vamos descobrir lá na frente achando um velocidade negativa.

Assim, vamos passar a usar o módulo das velocidades:

v 0 = v 1 + 3 v 2

Passo 3

Só com o passo anterior ainda não conseguimos achar as velocidades após a colisão, então vamos relacionar as energias cinéticas:

K 0 = K

A energia cinética é dada por:

K = m v 2 2

Assim, a energia cinética inicial será:

K 0 = m v 0 2 2

Já a energia cinética final será a soma das energias cinéticas das duas partículas:

K = m v 1 2 2 + 3 m v 2 2 2

Assim, temos que:

K 0 = K

m v 0 2 2 = m v 1 2 2 + 3 m v 2 2 2

v 0 2 = v 1 2 + 3 v 2 2

Passo 4

Agora que já temos as duas relações, vamos resolver esse sistema:

v 0 = v 1 + 3 v 2 v 0 2 = v 1 2 + 3 v 2 2

Lembrando que v 0 é um dado, então queremos achar v 1 e v 2 .

Dá primeira equação, temos que:

v 1 = v 0 - 3 v 2

Substituindo na segunda, temos:

v 0 2 = v 0 - 3 v 2 2 + 3 v 2 2

v 0 2 = v 0 2 - 6 v 0 v 2 + 9 v 2 2 + 3 v 2 2

12 v 2 2 - 6 v 0 v 2 = 0

Colocando v 2 em evidência:

v 2 12 v 2 - 6 v 0 = 0

Para uma multiplicação resultar em zero, um dos dois termos terá que ser zero. Então, achamos duas possibilidades:

v 2 = 0

Ou então:

12 v 2 - 6 v 0 = 0

v 2 = v 0 2

A primeira opção é incoerente fisicamente, já que a partícula 2 não está presa, então, ela deve ter uma certa velocidade após a colisão. Portanto:

v 2 = v 0 2

Agora, podemos substituir o valor na primeira equação e achar a velocidade v 1 :

v 0 = v 1 + 3 v 2

v 0 = v 1 + 3 v 0 2

v 1 = v 0 - 3 v 0 2

v 1 = - v 0 2

Passo 5

Ahhhh, lembra que a gente tinha chutado o sentido das velocidades finais de 1 e 2?

Então, como achamos v 2 positiva, essa partícula se move na mesma direção e sentido de v 0 (chutamos certo). Enquanto isso, achamos v 1 negativa, então, na verdade essa partícula se move no sentido negativo, ou seja, contrário ao de v 0 (chutamos errado).

Com isso, achamos que a alternativa correta é a letra (c).

Passo 6

Esse é um passo bônus.

Não fizemos a conta para um caso totalmente geral... Maaaaas, não inserimos valores tão específicos além de considerarmos a massa do corpo 2 maior que a massa do corpo 1 (3 vezes maior no caso).

Esse caso específico de colisão é bem comum, então uma certa intuição nos ajuda no meio da prova.

Se tivermos uma colisão elástica e o corpo de maior massa estiver em repouso sempre vamos ter o primeiro corpo (menor massa) com uma velocidade negativa (anda para trás) após a colisão.

Se tivermos uma colisão elástica com corpos de mesma massa, estando um deles em repouso, eles trocarão de velocidade. O corpo 1 ficará parado e o corpo 2 sairá com a velocidade do corpo 1. É a situação de uma colisão entre bolas de biliar.

Já se tivermos uma colisão elástica, onde o corpo de maior massa se move e o de menor massa está parado, os dois sairão com suas velocidades no mesmo sentido.

Então, como é uma questão múltipla escolha, até dava para achar a resposta sem contas, mas é melhor fazê-las para garantir. Afinal somos todos uma Dori haha:

Resposta

Letra (c)

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