(2) Seja

f x , y = sin ⁡ x y x ,     s e   x ≠ 0 y ,     s e   x = 0

a) Determine em que pontos f é contínua.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dado uma função f x , y definida por partes, onde se x = 0 , f x , y = y e se x ≠ 0 , f x , y = sin ⁡ x y x .

A partir daí queremos saber em quais pontos f é contínua.

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Para f ser contínua, as partes de f tem que coincidirem quando x tende a 0 .

Olhando para as partes separadamente, vemos que sin ⁡ x y x é constante para todo x ≠ 0 , que é justamente o intervalo em que f assume esse valor, já quando x = 0 , a função y também é contínua em todo o seu intervalo, logo a única possível descontinuidade é na mudança de comportamento da função quando x = 0 .

Pra isso temos que verificar se ambas as partes tendem ao mesmo resultado em x = 0 , portanto temos que aplicar o limite de sin ⁡ x y x para x → 0 e verificar se é igual a y .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

De maneira mais direta, temos que verificar se

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x y x = y

Se esse resultado for verdadeiro, f é contínua em todo seu domínio.

Se substituirmos x = 0 diretamente, vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então pra contornar essa situação, vamos aplicar a regra de L’Hopital e derivar o numerador e o denominador do limite.

lim x → 0 ⁡ ∂ sin ⁡ x y ∂ x ∂ x ∂ x = y

Pela regra da cadeia no numerador e pelo método de derivação polinomial no denominador, temos

lim x → 0 ⁡ y cos ⁡ x y 1 = y

lim x → 0 ⁡ y cos ⁡ x y = y

Agora sim fazendo x = 0 , chegamos em

lim x → 0 ⁡ y cos ⁡ x y = y cos ⁡ 0 = y

Portanto a igualdade foi satisfeita, logo f é continua em todo x , y ∈ R 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f é continua em todo x , y ∈ R 2

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6