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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Considere a função

z = f x , y = x ∙ y 2 x 2 + y 4 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

  1. Mostre que f 1 t = f t , p e f 2 t = f p , t são funções contínuas em t para cada valor de p fixo
  2. Mostre que f , por sua vez, não é contínua em 0,0

Passo 1

a )

Vamos começar fazendo o que ele pede para f 1 t , então

f 1 t = f t , p = t ∙ p 2 t 2 + p 4 s e t ≠ 0 0 s e t = 0

Para a função ser contínua devemos achar o limite dessa função em relação a t . Se substituirmos o valor de t vamos ter

lim t → 0 ⁡ t p 2 t 2 + p 4 = 0 p 4

Aqui temos duas situações, ou p = 0 ou p ≠ 0

Se p = 0

lim t → 0 ⁡ t p 2 t 2 + p 4 = lim t → 0 ⁡ t 0 t 2 + p 4 = lim t → 0 ⁡ 0 = 0

Se p ≠ 0

lim t → 0 ⁡ t p 2 t 2 + p 4 = 0 p 4 = 0

Logo o limite dessa função é 0 e vamos ter

lim t → 0 ⁡ f 1 t = f 1 0

Então a função f 1 é continua.

Passo 2

Vamos fazer o que ele pede para f 2 t , então

f 2 t = f p , t = p ∙ t 2 p 2 + t 4 s e t ≠ 0 0 s e t = 0

Para a função ser contínua devemos achar o limite dessa função em relação a t . Se substituirmos o valor de t vamos ter

lim t → 0 ⁡ p t 2 p 2 + t 4 = 0 p 2

Aqui temos duas situações, ou p = 0 ou p ≠ 0

Se p = 0

lim t → 0 ⁡ p t 2 p 2 + t 4 = lim t → 0 ⁡ 0 t 2 0 2 + t 4 = lim t → 0 ⁡ 0 = 0

Se p ≠ 0

lim t → 0 ⁡ p t 2 p 2 + t 4 = 0 p 2 = 0

Logo o limite dessa função é 0 e vamos ter

lim t → 0 ⁡ f 2 t = f 2 0

E a função f 2 é continua.

Passo 3

b )

Devemos agora analisar a função, primeiro vamos achar o limite e depois ver se a função é contínua. Se substituirmos o valor de x e y , vamos ter

lim x , y → 0,0 ⁡ x ∙ y 2 x 2 + y 4 = 0 0 + 0 = 0 0

Deu uma indeterminação do tipo 0 / 0

Passo 4

Agora deveríamos ver se podemos usar o teorema do sanduíche.

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica.

E além disso, temos x e y somados com expoentes diferentes. Então suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 5

Vamos substituir x = m y 2 para igualar os expoentes dos denominadores e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → 0,0 ⁡ x ∙ y 2 x 2 + y 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ m y 2 ∙ y 2 m y 2 2 + y 4 =

lim x , y → 0,0 ⁡ m y 4 y 4 m 2 + y 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ m y 4 y 4 m 2 + 1 = lim x , y → 0,0 ⁡ m m 2 + 1 = m m 2 + 1

Então o limite depende do caminho, isso nos diz que ele não existe.

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Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que se