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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Seja t : R 2 → R uma função de duas variáveis definida por:

t x , y = x 2 y + 6 x y - 5 x 2 - 30 x + 9 y - 45 x 2 + y 2 + 6 x - 10 y + 34 se x , y ≠ - 3,5 A + π se x , y = - 3,5

Onde A ∈ R é uma constante. Para qual(quais) valor(es) de A a função t é contínua em - 3,5 ?

Passo 1

Para a função ser contínua devemos ter:

lim x , y → - 3,5 ⁡ t x , y = A + π

Então, vamos calcular esse limite.

Passo 2

Temos:

lim x , y → - 3,5 ⁡ x 2 y + 6 x y - 5 x 2 - 30 x + 9 y - 45 x 2 + y 2 + 6 x - 10 y + 34

Substituindo:

9 5 + 6 - 3 5 - 5 9 - 30 - 3 + 9 5 - 45 - 3 2 + 5 2 + 6 - 3 - 10 5 + 34 = 0 0

Então devemos buscar outra técnica para resolver esse limite.

Passo 3

Vamos ajeitar esse limite:

lim x , y → - 3,5 ⁡ x 2 y + 6 x y - 5 x 2 - 30 x + 9 y - 45 x 2 + y 2 + 6 x - 10 y + 34 =

lim x , y → - 3,5 ⁡ x 2 y - 5 + 6 x y - 5 + 9 y - 5 x + 3 2 + y - 5 2 =

Colocando y - 5 em evidência no numerador:

lim x , y → - 3,5 ⁡ y - 5 x 2 + 6 x + 9 x + 3 2 + y - 5 2 = lim x , y → - 3,5 ⁡ y - 5 x + 3 2 x + 3 2 + y - 5 2

Ainda podemos colocar da seguinte forma:

lim x , y → - 3,5 ⁡ y - 5 . lim x , y → - 3,5 ⁡ x + 3 2 x + 3 2 + y - 5 2  

Passo 4

Perceba que

lim x , y → - 3,5 ⁡ y - 5 = 0

Então, vamos calcular o limite:

lim x , y → - 3,5 ⁡ x + 3 2 x + 3 2 + y - 5 2

Perceba que:

0 < x + 3 2 < x + 3 2 + y - 5 2

Dividindo tudo por x + 3 2 + y - 5 2 e tomando os limites vamos ter:

lim x , y → - 3,5 ⁡ 0 < l i m x , y → - 3,5 x + 3 2 x + 3 2 + y - 5 2 < l i m x , y → - 3,5 1

0 < l i m x , y → - 3,5 x + 3 2 x + 3 2 + y - 5 2 < 1

Perceba então que a função x + 3 2 x + 3 2 + y - 5 2 é limitada.

Passo 5

Logo, utilizanpodemos utilizar o teorema do anulamento para:

lim x , y → - 3,5 ⁡ y - 5 . lim x , y → - 3,5 ⁡ x + 3 2 x + 3 2 + y - 5 2

Pois

lim x , y → - 3,5 ⁡ y - 5 = 0

E a função x + 3 2 x + 3 2 + y - 5 2 é limitada.

Então, vamos ter:

lim x , y → - 3,5 ⁡ y - 5 . lim x , y → - 3,5 ⁡ x + 3 2 x + 3 2 + y - 5 2 = 0

Ou seja:

lim x , y → - 3,5 ⁡ x 2 y + 6 x y - 5 x 2 - 30 x + 9 y - 45 x 2 + y 2 + 6 x - 10 y + 34 = 0

Passo 6

Finalmente, para a função ser contínua vamos ter:

A + π = 0

A = - π

Resposta

A = - π

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