Exercícios Resolvidos de Continuidade

20 .             f ( x , y ) = x 2 y x 2 + y 2 ;       ( x , y ) ≠ ( 0,0 )     e

  f ( x , y ) =   0 ;                   ( x , y ) = ( 0,0 )

Passo 1

Essa função é contínua em qualquer ponto do R 2 pois é um quociente de funções contínuas, exceto no ponto ( 0,0 ) .

Temos que verificar agora se o limite é igual ao valor da função em ( 0,0 ) .

Ou seja:

l i m x , y → 0,0 f x , y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tentar substituir valores:

x 2 y x 2 + y 2   = 0 2 0 0 2 + 0 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 3

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Observe que

x 2 y x 2 + y 2 = x 2 x 2 + y 2 ⋅ y

Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 4

Colocar a expressão entre extremos:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

⇒ 0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 5

Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Temos que multiplicar por y :

0 ≤ x 2 y x 2 + y 2 ≤ y

Passo 6

Tirar os limites:

l i m x , y → 0,0 0   ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y x 2 + y 2 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) y

Calculando os limites das extremidades, temos

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y x 2 + y 2 ≤ 0

Logo:

l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y x 2 + y 2 = 0

Portanto l i m x , y → 0,0 f x , y = f 0,0 = 0

Então, a função é contínua em ( 0,0 ) .

Resposta

Função é contínua em todo o R 2 .

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