Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

UNICAMP, Cálculo 2, P1 - 2013.2 - 6ª Matutino, Questão 1

  1. Calcule o limite
  2. l i m x , y 0,0 x 2 y x 4 + 3 y 2

    ou mostre que ele não existe.

  3. Se a função f é definida por

f x , y = x 2 y x 4 + 3 y 2 s e x , y 0,0 0 s e x , y = 0,0

qual o maior subconjunto de R 2 onde f é contínua? Justifique sua resposta.

Passo 1

  1. Partiu detonar esse limite! Por exemplo, se escolhermos o caminho t , t , com t R , colocamos t onde aparecer x e onde aparecer y no limite:

l i m t 0 t 2 . t t 4 + 3 . t 2 = l i m t 0 t 3 t 4 + 3 . t 2 = l i m t 0 t t 2 + 3 = 0

Então, quando o t vai pra 0 , nosso limite vai pra 0 !!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tranquilo, e agora?

Precisamos de um caminho que nos dê um limite diferente de 0 , pois, como uma função não pode ter dois limites para um dado ponto, se encontrarmos esse “outro limite”, ela simplesmente não terá limites (tal como a zueira)! Relaxa que se não encontrarmos esse outro caminho, vamos partir pro teorema do sanduíche ver se o limite existe :)

Olha só, no numerador temos x 2 multiplicando y ... e no denominador temos x 4 e y 2 . Se colocarmos o caminho t , t 2 , com t R , o numerador e denominador terão o mesmo grau! E fica, colocando t onde tiver x e t 2 para y ,

l i m t 0 t 2 . t 2 t 4 + 3 t 2 2 =

l i m t 0 t 4 4 t 4 = 1 4

Mais fácil do que você imaginava né?? Só pegar esse mecanismo que fica simples ;) Sempre ter em mente, como fazemos para ter o mesmo grau em cima e embaixo! Dois limites diferentes, então a função não tem limite para o ponto 0,0 !

Passo 3

  1. Bom, antes de mais nada, veja a resolução da letra a ! Voltando lá, encontramos que o limite quando a parte x 2 y x 4 + 3 y 2 da função tende à origem, não existe!

Mas, agora, com essa nova definição para a função, temos um valor que ela assume para a origem, bem definido, e é 0 .

Passo 4

Com isso, ela está definida em todo o R 2 , mas ainda não é contínua em 0,0 , pois, como dissemos, o limite quando ela tende à origem não existe! Por isso, o maior subconjunto no qual a função é contínua é o R 2 / 0,0 , ou seja, todo o R 2 menos a origem!

Resposta

  1. Como encontramos dois limites diferentes, a função não tem limite!
  2. R 2 / 0,0

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