Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2011, Questão 3c

Considere

f x , y = x 4 x 4 + y 2 sin e - 1 x 2 + y 2 s e x , y 0,0 L s e x , y = 0,0

Existe algum número real L para o qual f seja contínua em 0,0 ? Justifique.

Passo 1

Essa está mais do que manjada! Para a função ser contínua, então o limite quando ela tende ao ponto em questão deve ser o mesmo valor que ela assume nesse ponto! Neste caso, obviamente, o limite deve existir. Enfim, resumindo a história, devemos fazer o limite:

l i m x , y 0,0 x 4 x 4 + y 2 sin e - 1 x 2 + y 2

E ver se ele existe. Se existir, esse será o valor para o L !

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Passo 2

Agora vamos olhar esse limite de perto... tem um seno, que é um bom sinal, pois é uma função limitada entre - 1 e 1 ! E do lado esquerdo dele, tem x 4 x 4 + y 2 . Logo, como o limite de um produto é o produto dos limites, se o limite dessa outra parte com a fração for 0 , o limite todo dá 0 !

Para saber se o limite dessa fração existe, vale a pena usar o teorema do sanduíche, pois temos o mesmo termo no numerador e no denominador, e a dedução fica imediata. Veja se concorda que:

0 < x 4 < x 4 + y 2

Show? Um número ao quadrado é sempre maior que 0 , e um outro número ao quadrado somado a ele, será maior do que ele sozinho! E, se dividirmos tudo por x 4 + y 2 , temos:

0 < x 4 x 4 + y 2 < 1

E temos aí que a função é limitada, assim como o seno! Pena que ele não deu igual a 0 , se não a questão já morria aqui...

Passo 3

Nada podemos dizer sobre o limite de duas funções limitadas... Então, vamos escolher uma para tentar encontrar o limite igual a 0 ? Acho que nesse caso o seno é a melhor opção, porque ficará

lim x , y 0,0  sin e - 1 x 2 + y 2

E esse limite, preste bem atenção, não tem indeterminação nenhuma! Quando x e y vão pra 0 , temos:

lim x , y 0,0  sin e - 1 0 2 + 0 2

E como 1 0 vai pra infinito, temos:

lim x , y 0,0  sin e - = lim x , y 0,0  sin 1 e = sin 0 = 0

E aí está! O limite para o seno, quando x , y 0,0 , é 0 ! Como a fração é limitada entre 0 e 1 , o limite todo dá 0 ! Assim, o valor que L deve assumir é 0 , para a função ser contínua!

Resposta

L deve ser 0

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