Exercícios Resolvidos de Continuidade

USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 14

Considere a função f : R 2 → R definida por

f x ,   y = y x - 1 2 ,                 s e       x ≠ 1 y ,                   s e   x = 1

Então

a) f não é contínua no ponto ( 1 ,   - 1 ) .

b) a curva de nível f x ,   y = 1 contem o ponto ( 1 ,   0 ) .

c) existe o limite lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ f x ,   y = L ∈ R , mas f não é contínua nesse ponto.

d) f é contínua no ponto 1 ,   0 .

e) f é contínua no ponto 1 ,   1 .

Passo 1

Eai pessoal, prontos para uma questão?

Repare que o enunciado forneceu uma função f de duas variáveis:

f x ,   y = y x - 1 2 ,                 s e       x ≠ 1 y ,                   s e   x = 1

Ele faz várias considerações sobre essa função e quer saber qual é a correta. Como as afirmativas falam sobre limites e continuidade nos pontos 1 ,   0 , 1 ,   - 1 e 1 ,   1 , temos que calcular os limites:

L 1 = lim x ,  y → 1 ,   0 ⁡ f x ,   y

L 2 = lim x ,  y → 1 ,   - 1 ⁡ f x ,   y

L 3 = lim x ,  y → 1 ,   1 ⁡ f x ,   y

Vamos olhar primeiro para L 1 . Temos que escolher um caminho que passe pelo ponto 1 ,   0 . Vamos escolher uma caminho com y = 0 : γ a t = t ,   0 com t → 1 . Note que nessa situação, x ≠ 1 :

f γ a t = f t ,   0 = 0 t - 1 2 = 0

Assim, por esse caminho:

lim t → 1 ⁡ f γ a t = lim t → 1 ⁡ 0 = 0

Vamos escolher agora um outro caminho que passe por ( 1 ,   0 ) , como y = x - 1 . Chamando x = t , temos que y = t - 1 . Assim, a curva é dada por γ b t = t ,   t - 1 . Vamos fazer t → 1 , de modo que x ≠ 1 . Assim,

f γ b t = f t ,   t - 1 = t - 1 t - 1 2 = 1 t - 1

lim t → 1 ⁡ f γ b t = lim t → 1 ⁡ 1 t - 1

Esse limite explode para ± ∞ . Assim, vemos que os limites por caminhos diferentes são diferentes. Portanto, concluímos que esse limite L 1 não existe!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos olhar agora para o limite L 2 = lim x ,  y → 1 ,   - 1 ⁡ f x ,   y . O caminho mais simples que passa por esse ponto é fixando y = - 1 com x → 1 (mas x ≠ 1 ). Nessa caso, para parametrizar a curvam fazemos x = t e y = 1 , obtendo a curva γ a t = t ,   - 1 . Assim,

f γ a t = f t ,   - 1 = - 1 t - 1 2

Assim,

lim t → 1 ⁡ f γ a t = lim t → 1 ⁡ - 1 t - 1 2 = - ∞

Como o limite por um caminho já explodiu, podemos garantir que ele não existe!

Passo 3

Já para L 3 = lim x ,  y → 1 ,   1 ⁡ f x ,   y , consideramos γ a t = t ,   1 . Escolhi essa curva pois ela passa pelo ponto 1 ,   1 . Fazendo t → 1 (de modo que x ≠ 1 ):

f γ a t = f t ,   1 = 1 t - 1 2

Assim,

lim t → 1 ⁡ f γ a t = lim t → 1 ⁡ 1 t - 1 2 = ∞

Como o limite explode por esse caminho, já sabemos que ele não existe!

Olha que curioso, nenhum dos limites considerados existem...

Passo 4

Vamos analisar cada afirmativa:

Alternativa A: f não é contínua em 1 ,   - 1 . Vimos que o limite L 2 não existe, isto é,

lim x ,  y → 1 ,   - 1 ⁡ f x ,   y           n ã o   e x i s t e

O limite existir é uma condição necessária para que a função seja contínua no ponto. Portanto, podemos afirmar que f não é continua em 1 ,   - 1 . A afirmativa está correta!

Alternativa B: a curva de nível f x ,   y = 1 contem o ponto ( 1 ,   0 ) . Para que esse ponto esteja na curva de nível 1 , deveríamos ter f 1 ,   0 = 1 . Mas note que sempre que x = 1 , temos que a função vale zero:

f 1 ,   0 = 0

Assim, essa afirmativa é falsa!

Alternativa C: afirma que o limite L 1 existe, o que provamos ser falso!

Alternativa D: se o limite quando x → 1 ,   0 não existe, a função não pode ser contínua!

Alternativa E: mesmo caso da afirmativa D, o limite não existe e a função não é contínua nesse ponto!

Pode ir firme na alternativa A pois só ela é correta!

Resposta

Alternativa A.

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