Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2015.2, Questão 9

Considere a função:

f x , y = x 6 x 8 + y 4 x , y 0,0 0 x , y = 0,0

Considere as afirmações:

i) O limite de f   quando x , y 0,0 por pontos da reta y = x é zero.

ii) O limite de f quando x , y 0,0 por pontos da parábola x = y 2 é zero.

iii) O limite de f quando x , y 0,0 por pontos da parábola y = x 2 é zero.

iv) A função f não é contínua apenas em 0,0

v) A função f é contínua em R 2

  1. Apenas as afirmativas iii e v são falsas.
  2. Apenas as afirmativas i, iii e v são verdadeiras.
  3. Apenas a afirmativa iv é falsa.
  4. Apenas as afirmativas i, iii e v são verdadeiras.
  5. Não sei

Passo 1

i) Vamos calcular esse limite através do caminho y = x .

Na prática, é só substituir y = x e calcular o limite:

lim x , y 0,0 x 6 x 8 + y 4 =   lim x 0 x 6 x 8 + x 4

lim x 0 x 2 x 4 + 1 = lim x 0 0 1 = 0

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

ii) Vamos calcular esse limite através do caminho x = y 2 .

Na prática, é só substituir x = y 2 e calcular o limite:

lim x , y 0,0 x 6 x 8 + y 4 =   lim x 0 y 12 y 16 + y 4

lim x 0 y 8 y 12 + 1 = lim x 0 0 1 = 0

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

iii) Vamos calcular esse limite através do caminho y = x 2 .

Na prática, é só substituir y = x 2 e calcular o limite:

lim x , y 0,0 x 6 x 8 + y 4 =   lim x 0 x 6 x 8 + x 8

lim x 0 1 2 x 2 =

Esse limite não existe. Logo, a afirmativa é falsa.

Passo 4

iv) Perceba que a função é composta por funções polinomiais, logo ela é contínua para todo ( x , y ) 0,0 . Porém vimos que :

lim x , y 0,0 x 6 x 8 + y 4 =

Logo, a função não é contínua em 0,0 .

Afirmativa verdadeira.

Passo 5

v) Acabamos de ver que a função não é contínua em x , y = 0,0 . Logo, a afirmativa é falsa.

Resposta

a) Apenas as afirmativas iii e v são falsas.

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