Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2012.1, Questão 1

Considere a função f : R 2 R definida por

f x , y = x y + x - 2 y - 2 x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 5 ( x , y ) ( 2 , - 1 ) 1 x , y = ( 2 , - 1 )

  1. Determine, caso exista, o valor de lim x , y 2 , - 1 f ( x , y )
  2. A função f ( x , y ) é contínua em x , y = ( 2 , - 1 ) ? Justifique
  3. A função f ( x , y ) é contínua em x , y = ( 0 , 0 ) ? Justifique

Passo 1

a )

Para calcular

lim x , y 2 , - 1 f ( x , y ) = lim x , y 2 , - 1 x y + x - 2 y - 2 x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 5

A primeira coisa a se fazer é tentar substituir o ponto ( 2 , - 1 ) na expressão do limite. Mas, fazendo isso, como era de se esperar, porque a questão não poderia ser tão easy assim, chegamos a uma indeterminação do tipo 0 0 .

Para sair dela, repara que podemos reescrever a função como:

f x , y = x y + x - 2 y - 2 x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 5 = x y + 1 - 2 y + 1 x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1

f x , y = x - 2 y + 1 x - 2 2 + y + 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Hum, agora ficamos com expressões que se repetem no numerador e no denominador. Isso tem cheiro de mudança de variáveis, não é mesmo?

Vamos fazer então

a = x - 2

b = y + 1

Ficamos então com:

f x , y = a b a 2 + b 2

Ai você deve estar se perguntando: mas por que diabos você fez isso se a função continua com duas variáveis?! A ideia não era usar L’Hospital quando se faz mudança de variável?!

Ai eu te respondo: no geral, a ideia é essa mesma. Mas aqui, eu fiz essa mudança só pra ficar mais claro pra você que podemos fazer ainda uma outra mudança de variáveis. Só que agora, para coordenadas polares. Isso porque temos, no denominador, a soma de duas variáveis ao quadrado e parece uma boa ideia mudar isso para r .

Passo 3

Lembrando que

a = r cos θ

b = r sen θ

a 2 + b 2 = r ²

Podemos então fazer:

f x , y = r cos θ r sen θ r 2 = r 2 cos θ sen θ r = r cos θ sen θ

Passo 4

Beleza, agora para onde tende r quando x , y ( 2 , - 1 ) ?

Quando x , y ( 2 , - 1 ) ,

a 2 - 2 = 0

b - 1 + 1 = 0

Assim, quando a , b ( 0,0 ) , r 0 , pois estamos calculando o limite nos aproximado da origem, fazendo a , b 0 ,   0 . E o r das coordenadas polares é justamente a distância à origem.

Passo 5

Então, nosso limite fica:

lim r 0 r cos θ sen θ = 0

Ou seja,

lim x , y 2 , - 1 f ( x , y ) = 0

Passo 6

b )

Para uma função ser contínua em um certo ponto, ela tem que estar definida nesse ponto (beleza, isso ela está!) e o limite da função quando ( x , y ) tenderem a esse ponto tem que ser igual ao valor da função nesse ponto. Assim, nossa função não é contínua no ponto ( 2 , - 1 ) , pois

lim x , y 2 , - 1 f ( x , y ) = 0 f 2 , - 1 = 1

Passo 7

c )

No ponto ( 0,0 ) , não temos nenhuma indeterminação para a função, ou seja, ela está bem definida nesse ponto. Além disso, a expressão que define f ( 0,0 ) é uma composição de funções contínuas em seus dominios (polinômios e raiz de uma polinômio), logo f , também é contínua em ( 0,0 ) .

Resposta

  1. lim x , y 2 , - 1 f ( x , y ) = 0
  2. Não.
  3. Sim.

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