Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2019.1, Questão 1

Considere a função

f x , y = x y 3 x 6 + y 2

a) Qual o domínio da função?

b) A função f ( x , y ) é contínua em todo R 2 ? Caso não seja, é possível estender tal função à uma função contínua em R 2 ? Justifique.

Passo 1

Letra a)

Para determinarmos o domínio dessa nossa função, vamos lembrar os principais problemas:

1. Denominador nulo

2. Raiz par de números negativos

3. Logaritmo de 0 ou de números negativos

Bom, com isso, vemos que não temos nem logaritmo nem raízes, então só nos resta verificar quando que o denominador é nulo.

Para isso, temos que resolver

x 6 + y 2 = 0

Mas todo número elevado a potências pares (nesse caso, 6 e 2 ) positivos ou nulos. Portanto, para essa soma ser exatamente 0 , temos que ter x , y = ( 0,0 ) .

Assim, nosso domínio é D = R 2 - { ( 0,0 ) }  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Para determinarmos a continuidade dessa função, vale lembrar que uma função só é contínua em uma região do plano se:

1. Existe f ( x , y ) em todo ponto ( x 0 , y 0 ) da região

2. Existe lim x , y x 0 , y 0 f ( x , y ) em todo ponto ( x 0 , y 0 ) da região

3. Os valores calculados nos itens acima são iguais em todo ponto

Portanto, como ( 0,0 ) R 2 e não satisfaz a primeira condição, então não é contínua em todo o R 2 .

Passo 3

O outro comando da letra b é se posso estender essa função até uma que seja contínua no R 2 e justificar essa resposta.

Mas afinal, o que significa estender uma função?? Nesse caso, temos uma função que tem uma descontinuidade num único ponto ( 0,0 ) , pois é quociente de polinômios e o único problema é o denominador nulo.

Assim, se lim x , y 0 , 0 f ( x , y )   existir, significa que temos uma descontinuidade ‘removível’ e que podemos definir um valor para f ( 0,0 ) de forma que ela seja contínua.

Ou seja, vamos concentrar nossos esforços em determinar se esse limite existe ou não.

Passo 4

Vamos então tentar calcular esse limite:

lim x , y 0 , 0 f ( x , y ) = lim x , y 0 , 0 x y 3 x 6 + y 2  

Para determinarmos a existência desse limite, vamos fazer uma mágica aqui:

Vamos pensar que f x , y = g x , y h ( x , y ) , onde:

g x , y = x y   e   h x , y = y 2 x 6 + y 2

Olhando a função h ( x , y ) , vemos que x 6 + y 2 y 2 sempre, pois o termo x 6 nunca é negativo. Logo, quando um denominador é maior ou igual que o numerador, o resultado é sempre um número entre 0 e 1, ou seja, h x , y 1 e vemos que é uma função limitada.

Olhando agora a função g x , y = x y , sabemos que é produto de polinômios então é contínua e, assim,

lim x , y 0,0 x y = 0

Então como temos f ( x , y ) sendo o produto de uma limitada com outra que tende a zero, temos:

lim x , y 0,0 f x , y = 0

Por fim, se definirmos então f 0,0 = 0 , nossa função passa a ser contínua em todo o R 2

Então podemos estender nossa função para ser contínua sempre!

Resposta

D = R 2 - 0,0

Sim, pois o limite em ( 0,0 ) existe.

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