Exercícios Resolvidos de Continuidade

Considere as funções

f x , y = sen ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + cos ⁡ y

g x , y = sen ⁡ x sen ⁡ y sen 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ y

h x , y = x y + 1 x 2 - y 2

i x , y = x 4 + x y 3 + x 2 y 2 + y 4 x 4 + y 4

j x , y = x y 2 + x 2 y 3 x 2 + 5 y 2

Se definirmos f 0,0 = g 0,0 = h 0,0 = i 0,0 = j ( 0,0 ) , podemos afirmar que

  1. Somente f ,   h   e   j são contínuas em ( 0,0 )
  2. Somente i   e   j são contínuas em ( 0,0 )
  3. Somente f ,   g   e   j são contínuas em ( 0,0 )
  4. Nenhuma das demais respostas
  5. Somente f e j são contínuas em ( 0,0 )

Passo 1

Uma função é contínua em ( 0,0 ) se

lim x , y → 0,0 ⁡ F ( x , y ) = F ( 0,0 )

Como não sabemos o valor de nenhuma dessas funções em ( 0,0 ) , provavelmente o que vai ditar se elas são ou não contínuas será se o limite existe ou não.

Vamos tentar calcular cada um desses limites então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando por f ( x , y ) :

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + cos ⁡ y

Tentando a simples substituição temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ 0 + sen ⁡ 0 cos ⁡ 0 + cos ⁡ 0 = 0 2 = 0

Portanto esse limite existe e a função f é contínua.

Passo 3

Vamos para g ( x , y ) :

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ y sen 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ y

Agora o buraco já fica mais embaixo, porque se tentarmos a simples substituição, chegaremos na indeterminação 0 0 .

Vamos tentar provar que esse limite não existe.

Primeiro vamos testar o caminho x = y

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x sen 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = lim x , y → 0,0 ⁡ sen 2 ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x = 1 2

Agora vamos testar o caminho y = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ 0 sen 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ 0 = lim x , y → 0,0 ⁡ 0 sen 2 ⁡ x = 0

Uhul, o limite não existe mesmo. Então a função g não pode ser contínua.

Passo 4

Agora a função h ( x , y ) :

lim x , y → 0,0 ⁡ x y + 1 x 2 - y 2

Se tentarmos a substituição simples, cairemos em algo do tipo

1 0

Só que isso é uma parada que tende ao infinito, ou seja, esse limite não existe.

Assim, temos mais um limite que não existe, mais uma função que não é contínua.

Passo 5

Vamos para a analise da função i ( x , y )

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 + x y 3 + x 2 y 2 + y 4 x 4 + y 4

Como só tem x e y no numerador e no denominador, a simples substituição levará a uma indeterminação 0 0 .

Vamos então seguir aquela mesma lógica de que esse limite não existe.

Começando pelo caminho x = y :

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 + x x 3 + x 2 x 2 + x 4 x 4 + x 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 + x 4 + x 4 + x 4 x 4 + x 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ 4 x 4 2 x 4 = 2

Show, agora vamos tentar o caminho y = 0 :

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 + x . 0 3 + x 2 . 0 2 + 0 4 x 4 + 0 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 x 4 = 1

Então, a função i também não é contínua.

Passo 6

Finalmente, vamos testar nossa ultima função:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 + x 2 y 3 x 2 + 5 y 2

Fazendo a substituição, pra variar, chegaremos a indeterminação 0 0 .

Mas aqui, temos um “problema”. O grau do numerador é maior que o grau do denominador, o que nos leva a crer que não conseguiremos provar que o limite não existe, portanto, é bem provável que ele exista.

A ideia aqui é ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche, normalmente procuramos termos como:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Nesse caso, podemos rearrumar nossa função como

x y 2 + x 2 y 3 x 2 + 5 y 2 = x y 2 3 x 2 + 5 y 2 + y x 2 3 x 2 + 5 y 2

E aí ficamos com algo bem parecido com aquela nossa primeira opção.

Otimo, temos então que calcular dois limites e, para isso, precisamos limitar alguma coisa desses dois limites.

Vamos tentar isso aqui:

0 ≤ y 2 ≤ 3 x 2 + 5 y 2

Porque eu to somando termos ao quadrado, independente de qual seja o coeficiente que está multiplicando eles. Beleza, continuando então

0 ≤ y 2 3 x 2 + 5 y 2 ≤ 3 x 2 + 5 y 2 3 x 2 + 5 y 2 = 1

Opa, limitamos. E, se você reparar, para a segunda parte da nossa função, podemos seguir o mesmo raciocínio e chegaremos em

0 ≤ x 2 3 x 2 + 5 y 2 ≤ 3 x 2 + 5 y 2 3 x 2 + 5 y 2 = 1

Isso significa que

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 3 x 2 + 5 y 2 + lim x , y → 0,0 ⁡ y x 2 3 x 2 + 5 y 2

É a soma de dois limites em que temos o limite de uma função que vai a zero multiplicado por uma função que é limitada. E isso, meus amigos, pelo teorema do anulamento, significa que nosso limite vale zero.

Ou sejeeeee, esse limite existe e a função j é contínua.

Passo 7

ACABOU!

Chega de calcular limite, gloria Jesus!

Resposta

L e t r a   e

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