Exercícios Resolvidos de Continuidade

Funções de Várias Variáveis, Limites e Continuidade

a) Defina continuidade de uma função de duas variáveis f x , y em um ponto x 0 , y 0 de seu domínio.

b) Dada a função

f x , y = x 2 y x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 L s e x , y = 0,0

é possível encontrar L de maneira que f seja contínua em 0,0 ?

Passo 1

a) Essa é mole, né? Para uma função ser contínua, ela não pode ter saltos ou pontos de indeterminação (quando parte pra infinito ou coisa do tipo). Formalizando, isso significa, que, tendo um ponto x 0 , y 0 , então, se o valor do limite quando a função tende a esse ponto é igual ao valor que a função assume nele, ela é contínua :D

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Passo 2

b) Usando a nossa definição do item a , para a função dada ser contínua em 0,0 , então o limite quando ela tende à origem deve ser igual a L , que é o valor que ela realmente assume nesse ponto! Assim, temos que fazer o limite:

l i m x , y → 0,0 x 2 y x 2 + y 2 = L

Se L existir, então ela é contínua!

Passo 3

Partiu resolver esse limite! Como sempre, nosso primeiro passo é sair “chutando” caminhos para percorrer a função até encontrar dois limites diferentes, e provar que L não pode existir (o que, normalmente é mais fácil do que usar o Teorema do Sanduíche). Mas, claro, devem ser chutes conscientes!

Como assim? Queremos que o denominador seja sempre ≠ 0 , para não cairmos em indeterminações! Por exemplo, se escolhermos o caminho t , 0 , teremos:

l i m x , y → 0,0 t 2 0 t 2 + 0 2 = 0 t 2 = 0

Neste caso, temos L = 0 ! Entendeu? Como vimos que tínhamos uma soma no denominador, não era um problema colocar uma das componentes igual a 0 !

Passo 4

Ok, e agora? Alguma outra boa sugestão de caminho? Seria bom um que fizesse o grau do numerador ser igual ao do denominador, para cortar o parâmetro t , né? Observando o limite, temos:

l i m x , y → 0,0 x 2 y 1 2 x 2 + y 2

Perceba que, independente do caminho que queiramos colocar, seja t , t , t 2 , t , t , t 2 , sempre o grau do numerador será menor que o do denominador, e não podemos cortar! E agora? Teremos que partir para o Teorema do Sanduíche!

Passo 5

Para usar esse teorema, a melhor dica é: Veja o que tem igual no numerador e no denominador. Então, isole a parte da fração que tem esse termo.

No nosso caso, veja que temos x 2 no numerador e no denominador. Então, vamos isolar a parte da fração com esse termo, ficando:

x 2 x 2 + y 2 .   y 1 2

Tá, e em que isso nos ajudou? Veja que o termo y 1 2 tende a 0 , certo? E, agora, tudo o que temos que ver é se   x 2 x 2 + y 2 é uma função limitada! Se for, poderemos alegar, pelo Teorema do Anulamento, que temos uma função que tende a 0 multiplicada por uma que é limitada, e então o limite todo dará realmente 0 ! Outra opção, também, será se o limite dessa parte da fração for qualquer constante. Assim, teremos um limite tendendo a 0 e outro tendendo a uma constante, e então o total dá 0 , pois estão multiplicados!

Passo 6

Sem mais enrolação, vamos ensanduichar a fração! Aqui, o processo é bem metódico:

Pegue o numerador, que normalmente estará ao quadrado, e diga que ele é maior ou igual a 0 :

0 ≤ x 2

Agora, como temos, no denominador o x 2 somado a outro número ao quadrado, então:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

Show? Agora, para chegar na fração inicial, dividimos tudo por x 2 + y 2 :

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2

E, então:

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

A aí está! Provamos que a fração é limitada entre 0 e 1 ! Posso te contar um segredo? Esse molde se fração sempre cai nas provas e exercícios! Sempre que vir uma variável ao quadrado dividida por ela mais outra ao quadrado, lembre disso, a fração é limitada!

Passo 7

Agora temos a faca e o queijo na mão! Encontramos que x 2 x 2 + y 2 está entre 0 e 1 , e, além disso, y 1 2 tende a 0 ! Assim, o limite

l i m x , y → 0,0 x 2 y x 2 + y 2 = l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 . y 1 2 = 0

E, então, para a função ser contínua, temos que L deve valer 0 !

Sofrido né? Parece tudo tão macetado que até bate um desespero... Resolver limite é chato mesmo, mas tenha em mente sempre o seguinte:

  1. Tente encontrar dois limites diferentes para provar que não existe o limite da função
  2. Se o passo 1 der errado, então é porque a função certamente tem uma parte limitada e outra que tende a 0 ! Tente, então encontrar algo parecido com x 2 x 2 + y 2 , isole essa parte, prove que ela é limitada, e, se a banca for generosa como foi agora, o resto estará tendendo a 0 !

Resposta

a) Uma função é contínua quando o valor do limite quando ela tente a x 0 ,   y 0 é igual ao valor dela nesse ponto.

b) L = 0

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