Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2014, Questão 3a

Determine L para a função abaixo, caso exista, para que a função seja contínua em ( 0,0 ) .

f x , y = x 2 y 4 x 4 + y 8 sen x ,   s e   x , y 0,0 L ,     s e   x , y = 0,0  

Passo 1

Perguntar se o L existe, é o mesmo que perguntar se o limite quando a x , y tende a 0,0 existe! Caso ela seja bem definido, então teremos um L que atende ao pedido.

Vamos lá, como fazemos então pra resolver o limite abaixo?

l i m x , y 0,0 x 2 y 4 x 4 + y 8 sen x

Bom, recomendo sempre separar em limites menores, quando possível. Então, podemos dizer que:

lim x , y 0,0 x 2 y 4 x 4 + y 8 sen x = lim x , y 0,0 x 2 y 4 x 4 + y 8 × l i m x , y 0,0 sen x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tranquilo, agora temos menos coisa pra nos preocuparmos, porque, colocando no limite l i m x , y 0,0 sen x o valor para o qual x está tendendo, temos que:

l i m x , y 0,0 sen x = sen 0 = 0

Assim, nosso limite da função toda fica:

lim x , y 0,0 x 2 y 4 x 4 + y 8 sen x = lim x , y 0,0 x 2 y 4 x 4 + y 8 ×   0

Em resumo, tínhamos dois limites, um multiplicado pelo outro, e agora sabemos que um deles vale 0 . Como temos a parte do seno indo para 0 se a outra parte for limitada podemos aplicar o teorema do sanduiche e matar esse limite, vamos dar uma olhada naquele cara.

Como temos um monte de gente elevado a caras pares isso tudo é maior que 0 .

Então

0 < x 2 y 4 x 4 + y 8

Agora vamos ver se achamos um limite superior para esse cara. Normalmente temos x e y em cima e embaixo com o mesmo grau, mas aqui se você olhar bem os de baixo são o dobro do de cima, isso nos diz que podemos usar um macete de produto notável que sempre vai roalr quando temos uma situação igual a essa, que vai ser pensar assim

x 2 - y 4 2 > 0

Certo?

Então

x 4 - 2 x 2 y 4 + y 8 > 0

x 4 + y 8 > 2 x 2 y 4 > x 2 y 4

Então

x 2 y 4 x 4 + y 8 < 1

Isso nos diz que

0 < x 2 y 4 x 4 + y 8 < 1

Vamos ao limite agora que vimos que esse cara é limitado

Passo 3

lim x , y 0,0 0 < lim x , y 0,0 x 2 y 4 x 4 + y 8 < lim x , y 0,0 1

Vamos agora multiplicar por sem x

lim x , y 0,0 0 sen x < lim x , y 0,0 x 2 y 4 x 4 + y 8 sen x < lim x , y 0,0 1 sen x

lim x , y 0,0 0 < lim x , y 0,0 x 2 y 4 x 4 + y 8 sen x < lim x , y 0,0 sen x

Então

0 < lim x , y 0,0 x 2 y 4 x 4 + y 8 sen x < 0

E esse limite que queríamos vai ser 0 .

Por fim, teremos:

L = lim x , y 0,0 x 2 y 4 x 4 + y 8 sen x = 0

Resposta

L = 0

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