Exercícios Resolvidos de Continuidade

UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2018.1, questão 2a

Determine o maior conjunto no qual a função é contínua:

f x , y , z = y x 2 - y 2 + z 2

Passo 1

Nossa função

f x , y , z = y x 2 - y 2 + z 2

É simplesmente o quociente entre duas funções clássicas: a função raiz e a função polinomial.

E, como sabemos, funções clássicas são contínuas em seus domínios.

Assim, precisamos apenas estudar o domínio dessas duas funções que formam o numerador e o denominador, fazer a interseção entre eles, e aí teremos o conjunto em que a função f é contínua.

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Passo 2

A função do numerador é uma função raiz

g = y

Como estamos procurando o domínio dela, precisamos olhas as restrições.

E, no caso, a restrição de uma raiz quadrada é que o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero. Assim, o domínio dessa função g é

y ≥ 0

Passo 3

Show, agora vamos para a função do denominador:

h = x 2 - y 2 + z 2

Ela é uma função polinomial, então a princípio não tem nenhuma restrição, mas coo está no denominador da nossa função f , ela tem que ser sempre diferente de zero:

x 2 - y 2 + z 2 ≠ 0

Então, o domínio é

x 2 + z 2 ≠ y 2

Passo 4

Fazendo a interseção dos dois domínios que achamos, temos que o maior conjunto no qual a função f ( x , y , z ) é contínua é o conjunto

D = x , y , z ∈ R 3   x 2 + z 2 ≠ y 2   e   y > 0 }  

Só esclarecendo: porque eu tirei o sinal de igual do y ≥ 0 ?

Porque o domínio de f tem que ser a interseção. E se y = 0 , então x 2 + z 2 = 0 . E como temos a soma de dois números ao quadrado, essa coisa só vai dar zero se os dois números forem zero.

Mas aí teríamos os 3 números do denominador de f sendo zero e o denominador seria zero. Mas isso não pode acontecer, certo?

Então é isso rsrs

Resposta

D = x , y , z ∈ R 3   x 2 + z 2 ≠ y 2   e   y > 0 }  

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