Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

UFRJ, P2 2011.2, questão 2

Determine os pontos em que a função abaixo é contínua:

f x , y , z = sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 ,     x , y , z ( 0,0 , 0 )     0 ,     x , y , z = ( 0,0 , 0 )

Passo 1

Essa função é contínua em qualquer ponto do R 3   exceto ( 0 ,   0 ,   0 ) , pois é uma combinação de funções contínuas.

Temos que verificar agora se o limite é igual ao valor da função em ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Ou seja:

l i m x , y , z 0,0 , 0 f x , y , z = f 0,0 , 0 = 0

Observação: essa é uma função de três variáveis, mas o procedimento é o mesmo que usamos para funções de duas variáveis.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tentar substituir valores:

lim x , y , z 0,0 , 0 sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 = sen 2 0 0 2 + 0 2 + 0 2 ( 0 ) 4 ( 0 ) 2 0 2 + 0 2 + 0 2 2 = sen 2 0 0 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 3

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Neste caso, temos algo análogo ao que já vimos em funções de duas variáveis. A grande jogada está em perceber o seguinte:

y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 = x 2 x 2 + y 2 + z 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 y 2

Entendeu? Agora temos dois termos limitados entre 0 e 1 , além do quadrado da função seno, que também está limitado nesse intervalo. Logo, o produto dessas funções limitadas também está limitada entre 0 e 1 .

Passo 4

Colocar a expressão entre extremos:

0 x 2 x 2 + y 2 + z 2

0 x 2 x 2 + y 2 + z 2 1

De modo análogo:

0 y 2 x 2 + y 2 + z 2 1

E, além disso, o seno de qualquer coisa ao quadrado só pode estar entre 0 e 1 :

0 sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 1

Então o produto está entre 0 e 1 :

0 x 2 x 2 + y 2 + z 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 1

0 sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 y 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 1

Passo 5

Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

0 sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 y 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 1

Temos que multiplicar por y 2 :

Como y 2 > 0 , não precisamos nos preocupar com o sinal:

0 y 2 sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 y 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 y 2 1 ( y 2 )

0 sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 y 2

Passo 6

Tirar os limites:

l i m x , y , z 0,0 , 0 0 l i m x , y , z 0,0 , 0 sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 l i m x , y , z 0,0 , 0 y 2

Passo 7

Calcular os limites dos extremos:

l i m x , y , z 0,0 , 0 0 = 0

l i m x , y , z 0,0 , 0 y 2 = 0

Passo 8

Substituir na desigualdade:

0 l i m x , y , z 0,0 , 0 sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 0

Logo:

l i m x , y , z 0,0 , 0 sen 2 z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 = 0

Passo 9

Portanto:

l i m x , y , z 0,0 , 0 f x , y , z = 0

Logo, essa função é contínua em ( 0,0 , 0 ) .

Logo, a função é contínua em todo o R 3 !

Resposta

A função é contínua em todo o R 3 .

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