Exercícios Resolvidos de Continuidade

Calculo 2 – UFPE – 1° EE

Determine o valor da constante A de modo que a função real

f x , y = 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 sen ⁡ x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 A ,   x , y = 0,0

Seja contínua na origem.

Passo 1

Para uma função ser contínua, o seu limite deve existir neste ponto e o valor deste limite deve ser igual ao valor da função no ponto. Portanto, se queremos checar se a função é contínua na origem, queremos checar se:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = f 0,0 = A

Portanto, queremos descobrir se o limite existe e, caso ele exista, qual o seu valor.

Como a questão não nos restringe no uso de coordenadas polares, vamos fazer uso deste sistema para calcular o limite.

Lembrando que x 2 + y 2 = ρ 2 , temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 sen ⁡ x 2 + y 2 = lim ρ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ ρ 2 sen ⁡ ρ 2 = lim ρ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ ρ sen ⁡ ρ 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos substituir o valor de ρ = 0 no limite. Sendo assim, temos:

lim ρ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ ρ sen ⁡ ρ 2 = 1 - cos ⁡ 0 sen ⁡ 0 = 0 0

E temos uma indeterminação. Vamos utilizar a regra de L’Hôspital (deriva o numerador e o denominador), temos:

lim ρ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ ρ sen ⁡ ρ 2 = lim ρ → 0 ⁡ sen ⁡ ρ 2 ρ cos ⁡ ρ 2

Substituindo o valor de ρ = 0 novamente, temos:

lim ρ → 0 ⁡ sen ⁡ ρ 2 ρ cos ⁡ ρ 2 = sen ⁡ 0 2 ⋅ 0 ⋅ cos ⁡ 0 = 0 0

Novamente temos uma indeterminação. Aplicando a regra de L’Hôspital novamente, temos:

lim ρ → 0 ⁡ sen ⁡ ρ 2 ρ cos ⁡ ρ 2 = lim ρ → 0 ⁡ cos ⁡ ρ 2 cos ⁡ ρ 2 - 4 ρ 2 sen ⁡ ρ 2 = 1 2

Portanto, o valor do limite da nossa função é 1 / 2 .

Se queremos que a função seja contínua na origem, o valor de A deve ser igual a 1 / 2 !

Resposta

A = 1 2

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