Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2014.2, Questão 1

Determine o valor da constante A de modo que a função real

f x , y = sen ( x 2 + y 2 ) 1 - cos x 2 + y 2 ,   s e   x , y 0,0 A ,     s e   x , y = 0,0  

Seja contínua na origem.

Passo 1

Para a função ser contínua na origem, é preciso que o limite quando ela tenda a origem exista e seja bem definido. Esse limite é exatamente o A que precisamos encontrar!

Então, o nosso problema é resolver:

lim x , y 0,0 sen ( x 2 + y 2 ) 1 - cos x 2 + y 2

E ver se ele existe!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver esse limite, repare que temos o termo x 2 + y ² no numerador e no denominador.

Isso é um bom indício de que podemos usar mudança de variável. Mas, nesse caso, não uma mudança de variável qualquer!

Podemos usar coordenadas polares. Assim:

r 2 = x 2 + y ²

r = x 2 + y 2

E quando x , y 0 ,   0 temos

r 0 ² + 0 ² = 0

Passo 3

Então, substituindo tudo isso, nosso limite fica:

lim r 0 sen ( r ² ) 1 - cos r

Agora, se tentarmos resolver esse limite por simples substituição, vemos que chegamos a uma indeterminação do tipo 0 0 .

E agora, como vamos sair dela?

Passo 4

Repare que agora temos uma função de uma única variável r . Dessa forma, para alegria de todos e felicidade geral da nação, podemos pedir ajuda para o nosso querido L’Hospital.

Aplicando L’Hospital, então, ficamos com:

lim r 0 sen ( r ² ) 1 - cos r = lim r 0 2 r   cos r ² sen r

Opa, mas aqui ainda ficamos com uma indeterminação 0 0 . Isso significa que temos que aplicar L’Hospital outra vez. Assim:

lim r 0 2 r   cos r ² sen r = lim r 0 2   cos r ² - 4 r 2 sen r ² cos r

E agora sim, podemos resolver esse limite por simples substituição:

lim r 0 2   cos r ² - 4 r 2 sen r ² cos r = lim r 0 2 . 1 - 4 . 0 2 . 0 1 = 2

Dessa forma, para f ( x , y ) ser contínua na origem, A deve ser igual a 2.

Resposta

A = 2

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