Determine o valor da constante A de modo que a função real

f x , y = sen ⁡ ( x 2 + y 2 ) 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0 A ,     s e   x , y = 0,0  

Seja contínua na origem.

Passo 1

Para a função ser contínua na origem, é preciso que o limite quando ela tenda a origem exista e seja bem definido. Esse limite é exatamente o A que precisamos encontrar!

Então, o nosso problema é resolver:

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ ( x 2 + y 2 ) 1 - cos ⁡ x 2 + y 2

E ver se ele existe!

Passo 2

Para resolver esse limite, repare que temos o termo x 2 + y ² no numerador e no denominador.

Isso é um bom indício de que podemos usar mudança de variável. Mas, nesse caso, não uma mudança de variável qualquer!

Podemos usar coordenadas polares. Assim:

r 2 = x 2 + y ²

r = x 2 + y 2

E quando x , y → 0 ,   0 temos

r → 0 ² + 0 ² = 0

Passo 3

Então, substituindo tudo isso, nosso limite fica:

lim r → 0 ⁡ sen ⁡ ( r ² ) 1 - cos ⁡ r

Agora, se tentarmos resolver esse limite por simples substituição, vemos que chegamos a uma indeterminação do tipo 0 0 .

E agora, como vamos sair dela?

Passo 4

Repare que agora temos uma função de uma única variável r . Dessa forma, para alegria de todos e felicidade geral da nação, podemos pedir ajuda para o nosso querido L’Hospital.

Aplicando L’Hospital, então, ficamos com:

lim r → 0 ⁡ sen ⁡ ( r ² ) 1 - cos ⁡ r = lim r → 0 ⁡ 2 r   cos ⁡ r ² sen ⁡ r

Opa, mas aqui ainda ficamos com uma indeterminação 0 0 . Isso significa que temos que aplicar L’Hospital outra vez. Assim:

lim r → 0 ⁡ 2 r   cos ⁡ r ² sen ⁡ r = lim r → 0 ⁡ 2   cos ⁡ r ² - 4 r 2 sen ⁡ r ² cos ⁡ r

E agora sim, podemos resolver esse limite por simples substituição:

lim r → 0 ⁡ 2   cos ⁡ r ² - 4 r 2 sen ⁡ r ² cos ⁡ r = lim r → 0 ⁡ 2 . 1 - 4 . 0 2 . 0 1 = 2

Dessa forma, para f ( x , y ) ser contínua na origem, A deve ser igual a 2.

Resposta

A = 2

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h x , y = g f x , y e o conjunto na qual h é contínua. g t = t 2 + t , f x , y = 2 x + 3 y - 6