Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

UERJ, Lista 3 Prof. Hamilton, exercício 9

A função

g x , y = 3 x + y - 2 2 x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2   se x , y 4,2 12 se x , y = 4,2

é contínua?

Passo 1

Não esquente a cabeça! Esse problema é mais fácil do que parece... Vamos focar no que interessa: Como verificar se a função é contínua?

A parte bizarra dela (que tem a fração gigante) não pode conter o ponto ( 4,2 ) , certo? Então, se ela for contínua, o limite quando essa parte tenter a ( 4,2 ) deve ser 12, que é o valor que ela realmente tem para esse ponto (dado na parte de baixo da chave).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que sabemos o que temos que fazer, vamos encontrar o limite da parte de cima da chave quando ela tende a ( 4,2 )

lim x , y 4,2 3 x + y - 2 2 x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

Podemos separar essse limite em dois, para facilitar:

lim x , y 4,2 3 x + lim x , y 4,2 y - 2 2 x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

Como a expressão da direita tem uma indeterminação do tipo 0 0 , é aí que mora o problema. Vamos resolvê-lo!

Passo 3

Vamos trablahar em cima da nossa parte “problemática” ?

lim x , y 4,2 y - 2 2 x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

Observe bem, podemos reescrever da seguinte forma:

y - 2 2 x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2   = y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2   x 2 - 8 y

Ok, agora temos

lim x , y 4,2 y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2   x 2 - 8 y

Passo 4

A hora do Teorema do Sanduíche chegou!

Agora vamos pegar o termo x - 4 2 + y - 2 2 do denominador da fração e trabalhar nele, até que vire a propria fração.

A missão é encontrar relações dentro da propria fração em forma de inequações, sendo que um dos extremos da inequação precisa ser o 0, e o termo do meio, “ensanduichado”, deve ser o que vai virar a fração da indeterminação. Veja, umas das possíveis relações é:

y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2

Passo 5

Como o lado direito da inequação é o que vai ser ensanduichado, e ele é o denominador da fração, vamos elevar tudo a -1 e colocar o 0 na inequação:

1 y - 2 2 1 x - 4 2 + y - 2 2 0

Passo 6

Perfeito! Está cada vez mais parecido com a fração inicial! Agora, vamos multiplicar tudo por y - 2 2 ....

y - 2 2 y - 2 2 y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2 0

1 y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2 0

Passo 7

Pronto!! Agora já está quase identico ao que conseguimos no passo 3! Só falta multiplicar por x 2 - 8 y !

1 y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2 0

multiplicando fica....

x 2 - 8 y y - 2 2 x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2 0

Passo 8

Agora que temos a fração que nos causava problema ensanduichada, podemos fazer o limite dos dois lados do sanduiche:

Em

x 2 - 8 y y - 2 2 x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2 0

lim x , y 4,2 x 2 - 8 y = 0

lim x , y 4,2 0 = 0

Ora, se o limite do lado direito é 0, e o do lado esquerdo também, o limite da fração só pode ser 0!! Vamos voltar ao que tínhamos no passo 1?

Passo 9

Queremos, então, saber se

lim x , y 4,2 3 x + lim x , y 4,2 y - 2 2 . x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

existe, e, se existe, qual o seu valor.

Como já resolvemos e sabemos que

lim x , y 4,2 y - 2 2 . x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2   = 0

Temos que verificar que o limite

lim x , y 4,2 3 x = 3   .   4 = 12

Como 12 + 0 = 12 , aí está nosso limite! Ele vale 12

Resposta

A função é contínua, pois seu limite quando x , y 4,2 = 12 , que é o valor que ela assume nesse ponto.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas